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Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der `F33f`_`[Kontinuumsmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kontinuumsmechanik]`_`f zusammen.

>>Contents

• `F0af`_`[Allgemeines`#allgemeines]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Nomenklatur`#nomenklatur]`_`f

• `F0af`_`[Kronecker-Delta`#kronecker-delta]`_`f

• `F0af`_`[Permutationssymbol`#permutationssymbol]`_`f

• `F0af`_`[Basisvektoren`#basisvektoren]`_`f

• `F0af`_`[Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen`#ableitung-von-skalar-vektor-oder-tensorfunktionen]`_`f

• `F0af`_`[Gâteaux-Differential`#g-teaux-differential]`_`f

• `F0af`_`[Fréchet-Ableitung`#fr-chet-ableitung]`_`f

• `F0af`_`[Ableitung von Potenzen eines Tensors`#ableitung-von-potenzen-eines-tensors]`_`f

• `F0af`_`[Ableitungen nach dem Ort`#ableitungen-nach-dem-ort]`_`f

• `F0af`_`[Nabla-Operator`#nabla-operator]`_`f

• `F0af`_`[Gradient`#gradient]`_`f

• `F0af`_`[Divergenz`#divergenz]`_`f

• `F0af`_`[Rotation`#rotation]`_`f

• `F0af`_`[Laplace-Operator`#laplace-operator]`_`f

• `F0af`_`[Verknüpfungen`#verkn-pfungen]`_`f

• `F0af`_`[Grassmann-Entwicklung`#grassmann-entwicklung]`_`f

• `F0af`_`[Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation`#s-tze-ber-gradient-divergenz-und-rotation]`_`f

• `F0af`_`[Helmholtz-Theorem`#helmholtz-theorem]`_`f

• `F0af`_`[Satz über rotationsfreie Felder`#satz-ber-rotationsfreie-felder]`_`f

• `F0af`_`[Gaußscher Integralsatz`#gau-scher-integralsatz]`_`f

• `F0af`_`[Klassischer Integralsatz von Stokes`#klassischer-integralsatz-von-stokes]`_`f

• `F0af`_`[Reynoldscher Transportsatz`#reynoldscher-transportsatz]`_`f

• `F0af`_`[Transportsatz für Flächenintegrale`#transportsatz-f-r-fl-chenintegrale]`_`f

• `F0af`_`[Transportsatz für Kurvenintegrale`#transportsatz-f-r-kurvenintegrale]`_`f

• `F0af`_`[Kontinuumsmechanik`#kontinuumsmechanik]`_`f

• `F0af`_`[Kleine Deformationen`#kleine-deformationen]`_`f

• `F0af`_`[Starrkörperbewegung`#starrk-rperbewegung]`_`f

• `F0af`_`[Ableitungen der Invarianten`#ableitungen-der-invarianten]`_`f

• `F0af`_`[Konvektive Koordinaten`#konvektive-koordinaten]`_`f

• `F0af`_`[Geschwindigkeitsgradient`#geschwindigkeitsgradient]`_`f

• `F0af`_`[Objektive Zeitableitungen`#objektive-zeitableitungen]`_`f

• `F0af`_`[Materielle Zeitableitung`#materielle-zeitableitung]`_`f

• `F0af`_`[Fußnoten`#fu-noten]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

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>>Allgemeines

>>>Siehe auch

`F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f

>>>Nomenklatur

• Operatoren wie „ g r a d {\\displaystyle \\mathrm {grad} } “ werden nicht kursiv geschrieben.

• Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt: i , j , k , l ∈ ∈ { 1 , 2 , 3 } {\\displaystyle i,j,k,l\\in \\{1,2,3\\}}

• Es gilt die `F33f`_`[Einsteinsche Summenkonvention`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einsteinsche_Summenkonvention]`_`f ohne Beachtung der Indexstellung.

• Kommt in einer Formel in einem `F33f`_`[Produkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multiplikation]`_`f ein Index doppelt vor wie in c = a i b i {\\displaystyle c=a_{i}b^{i}} wird über diesen Index von eins bis drei summiert: c = a i b i = ∑ ∑ i = 1 3 a i b i {\\displaystyle c=a_{i}b^{i}=\\sum _{i=1}^{3}a_{i}b^{i}} .

• Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in c = A i j B j i {\\displaystyle c=A_{ij}B_{j}^{i}} wird über diese summiert: c = A i j B j i = ∑ ∑ i = 1 3 ∑ ∑ j = 1 3 A i j B j i {\\displaystyle c=A_{ij}B_{j}^{i}=\\sum _{i=1}^{3}\\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{j}^{i}} .

• Ein Index, der nur einfach vorkommt wie i {\\displaystyle i} in v i = A i j b j {\\displaystyle v_{i}=A_{ij}b_{j}} , ist ein `*freier`* Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes: v i = A i j b j ↔ ↔ v i = ∑ ∑ j = 1 3 A i j b j ∀ ∀ i ∈ ∈ { 1 , 2 , 3 } {\\displaystyle v_{i}=A_{ij}b_{j}\\quad \\leftrightarrow \\quad v_{i}=\\sum _{j=1}^{3}A_{ij}b_{j}\\quad \\forall \\;i\\in \\{1,2,3\\}} .

• Vektoren:

• Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen `F33f`_`[euklidischen Vektorraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Prähilbertraum]`_`f 𝕍={ℝ3,+,·}.

• Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.

• Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen.

• Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in a → → {\\displaystyle {\\vec {a}}} mit einem Pfeil versehen.

• `F33f`_`[Standardbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Standardbasis]`_`f e ^ ^ 1 , e ^ ^ 2 , e ^ ^ 3 {\\displaystyle {\\hat {e}}_{1},{\\hat {e}}_{2},{\\hat {e}}_{3}}

• Beliebige Basis b → → 1 , b → → 2 , b → → 3 {\\displaystyle {\\vec {b}}_{1},{\\vec {b}}_{2},{\\vec {b}}_{3}} mit `F33f`_`[dualer Basis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Duale_Basis]`_`f b → → 1 , b → → 2 , b → → 3 {\\displaystyle {\\vec {b}}^{1},{\\vec {b}}^{2},{\\vec {b}}^{3}}

• Der Vektor x → → = x i e ^ ^ i {\\displaystyle {\\vec {x}}=x_{i}{\\hat {e}}_{i}} wird durchgängig Ortsvektor genannt.

• Tensoren zweiter Stufe werden wie in `!T`! mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere `F33f`_`[Einheitstensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einheitstensor]`_`f `!1`!.

• Koordinaten:

• `F33f`_`[#Kartesische Koordinaten`#kartesische-koordinaten]`_`f x 1 , x 2 , x 3 ∈ ∈ R {\\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\\in \\mathbb {R} }

• `F33f`_`[#Zylinderkoordinaten`#zylinderkoordinaten]`_`f: ρ ρ , φ φ , z {\\displaystyle \\rho ,\\varphi ,z}

• `F33f`_`[#Kugelkoordinaten`#kugelkoordinaten]`_`f: r , ϑ ϑ , φ φ {\\displaystyle r,\\vartheta ,\\varphi }

• `F33f`_`[Krummlinige Koordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Krummlinige_Koordinaten]`_`f y 1 , y 2 , y 3 ∈ ∈ R {\\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\\in \\mathbb {R} }

• Konstanten: c , c → → , C {\\displaystyle c,{\\vec {c}},\\mathbf {C} }

• Zeit `*t`* ∈ ℝ

• Variablen: skalar `*r,s`* ∈ ℝ oder vektorwertig r → → , s → → ∈ ∈ V 3 {\\displaystyle {\\vec {r}},{\\vec {s}}\\in \\mathbb {V} ^{3}}

• Feldfunktionen abhängig von x → → , t {\\displaystyle {\\vec {x}},t} oder y → → , t {\\displaystyle {\\vec {y}},t} :

• Skalar f , g ∈ ∈ R {\\displaystyle f,g\\in \\mathbb {R} } oder vektorwertig f → → , g → → ∈ ∈ V 3 {\\displaystyle {\\vec {f}},{\\vec {g}}\\in \\mathbb {V} ^{3}}

• Tensorwertig: `!S`!, `!T`!

• Operatoren:

• `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Spur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f: Sp

• `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Transposition`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f: `!T`!⊤

• `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Inverse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f: `!T`! -1

• Transponierte Inverse: `!T`! ⊤-1

• `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Skalarprodukt von Tensoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f :, von Vektoren ·

• `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f × oder von Vektoren untereinander

• `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Dyadisches Produkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f ⊗

• `F33f`_`[Äußeres Tensorprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Äußeres_Tensorprodukt]`_`f ( a → → ⊗ ⊗ g → → ) # # ( b → → ⊗ ⊗ h → → ) := ( a → → × × b → → ) ⊗ ⊗ ( g → → × × h → → ) {\\displaystyle ({\\vec {a}}\\otimes {\\vec {g}})\\#({\\vec {b}}\\otimes {\\vec {h}}):=({\\vec {a}}\\times {\\vec {b}})\\otimes ({\\vec {g}}\\times {\\vec {h}})}

• `F33f`_`[Vektorinvariante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorinvariante]`_`f i → → ( a → → ⊗ ⊗ b → → ) = a → → × × b → → {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {i} }}({\\vec {a}}\\otimes {\\vec {b}})={\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}}

• `F33f`_`[Differentialoperatoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialoperator]`_`f:

• `F33f`_`[#Nabla-Operator`#nabla-operator]`_`f: 𝜵

• `F33f`_`[#Gradient`#gradient]`_`f: grad

• `F33f`_`[#Divergenz`#divergenz]`_`f: div

• `F33f`_`[#Rotation`#rotation]`_`f: rot

• `F33f`_`[#Laplace-Operator`#laplace-operator]`_`f: Δ

• Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate: f , i := ∂ ∂ f ∂ ∂ x i , f i , j k = ∂ ∂ 2 f i ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k , f r , ϑ ϑ = ∂ ∂ f r ∂ ∂ ϑ ϑ {\\displaystyle f_{,i}:={\\frac {\\partial f}{\\partial x_{i}}}\\,,\\quad f_{i,jk}={\\frac {\\partial ^{2}f_{i}}{\\partial x_{j}\\partial x_{k}}}\\,,\\quad f_{r,\\vartheta }={\\frac {\\partial f_{r}}{\\partial \\vartheta }}}

• `F33f`_`[Zeitableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitableitung]`_`f mit `F33f`_`[Überpunkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Überpunkt]`_`f: f ˙ ˙ = d f d t , f → → ˙ ˙ = d f → → d t , T ˙ ˙ = d d t T {\\displaystyle {\\dot {f}}={\\frac {\\mathrm {d} f}{\\mathrm {d} t}},{\\dot {\\vec {f}}}={\\frac {\\mathrm {d} {\\vec {f}}}{\\mathrm {d} t}},{\\dot {\\mathbf {T} }}={\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\mathbf {T} }

• `F33f`_`[Landau-Symbole`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Landau-Symbole]`_`f: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x.

• Kontinuumsmechanik:

• Verschiebung u → → = u i e ^ ^ i {\\displaystyle {\\vec {u}}=u_{i}{\\hat {e}}_{i}}

• Geschwindigkeit v → → = v i e ^ ^ i {\\displaystyle {\\vec {v}}=v_{i}{\\hat {e}}_{i}}

• `F33f`_`[Deformationsgradient`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Deformationsgradient]`_`f F {\\displaystyle \\mathbf {F} }

• Räumlicher `F33f`_`[Geschwindigkeitsgradient`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeitsgradient]`_`f l {\\displaystyle \\mathbf {l} }

• der Differentialoperator D/Dt und der `F33f`_`[Überpunkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Überpunkt]`_`f steht für die `F33f`_`[substantielle Zeitableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Substantielle_Ableitung]`_`f

>>>Kronecker-Delta

Siehe auch

:

Kronecker-Delta

δ δ i j = δ δ i j = δ δ i j = δ δ j i = { 1 falls i = j 0 sonst {\\displaystyle \\delta _{ij}=\\delta ^{ij}=\\delta _{i}^{j}=\\delta _{j}^{i}=\\left\\{{\\begin{array}{ll}1&{\\text{falls}}\\ i=j\\\\0&{\\text{sonst}}\\end{array}}\\right.}

>>>Permutationssymbol

Siehe auch

:

Permutationssymbol

ϵ ϵ i j k = e ^ ^ i ⋅ ⋅ ( e ^ ^ j × × e ^ ^ k ) = { 1 falls ( i , j , k ) ∈ ∈ { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) } − − 1 falls ( i , j , k ) ∈ ∈ { ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 3 , 2 , 1 ) } 0 sonst, d. h. bei doppeltem Index {\\displaystyle \\epsilon _{ijk}={\\hat {e}}_{i}\\cdot ({\\hat {e}}_{j}\\times {\\hat {e}}_{k})={\\begin{cases}1&{\\text{falls}}\\;(i,j,k)\\in \\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\}\\\\-1&{\\text{falls}}\\;(i,j,k)\\in \\{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\\}\\\\0&{\\text{sonst, d. h. bei doppeltem Index}}\\end{cases}}}

`F33f`_`[Kreuzprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kreuzprodukt]`_`f:

a i e ^ ^ i × × b j e ^ ^ j = ϵ ϵ i j k a i b j e ^ ^ k {\\displaystyle a_{i}{\\hat {e}}_{i}\\times b_{j}{\\hat {e}}_{j}=\\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\\hat {e}}_{k}}

ϵ ϵ i j k e ^ ^ k = e ^ ^ i × × e ^ ^ j {\\displaystyle \\epsilon _{ijk}{\\hat {e}}_{k}={\\hat {e}}_{i}\\times {\\hat {e}}_{j}}

`F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f:

( a → → × × A ) ⋅ ⋅ g → → := a → → × × ( A ⋅ ⋅ g → → ) {\\displaystyle ({\\vec {a}}\\times \\mathbf {A} )\\cdot {\\vec {g}}:={\\vec {a}}\\times (\\mathbf {A} \\cdot {\\vec {g}})}

b → → ⋅ ⋅ ( a → → × × A ) = ( b → → × × a → → ) ⋅ ⋅ A {\\displaystyle {\\vec {b}}\\cdot ({\\vec {a}}\\times \\mathbf {A} )=({\\vec {b}}\\times {\\vec {a}})\\cdot \\mathbf {A} }

g → → ⋅ ⋅ ( A × × a → → ) := ( g → → ⋅ ⋅ A ) × × a → → {\\displaystyle {\\vec {g}}\\cdot (\\mathbf {A} \\times {\\vec {a}}):=({\\vec {g}}\\cdot \\mathbf {A} )\\times {\\vec {a}}}

( A × × a → → ) ⋅ ⋅ b → → = A ⋅ ⋅ ( a → → × × b → → ) {\\displaystyle (\\mathbf {A} \\times {\\vec {a}})\\cdot {\\vec {b}}=\\mathbf {A} \\cdot ({\\vec {a}}\\times {\\vec {b}})}

>>>Basisvektoren

>>>>Kartesische Koordinaten

Siehe auch

:

Kartesische Koordinaten

x 1 , x 2 , x 3 ∈ ∈ R {\\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\\in \\mathbb {R} }

mit Basisvektoren

e ^ ^ 1 = ( 1 0 0 ) , e ^ ^ 2 = ( 0 1 0 ) , e ^ ^ 3 = ( 0 0 1 ) {\\displaystyle {\\hat {e}}_{1}={\\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\0\\end{pmatrix}},\\quad {\\hat {e}}_{2}={\\begin{pmatrix}0\\\\1\\\\0\\end{pmatrix}},\\quad {\\hat {e}}_{3}={\\begin{pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{pmatrix}}}

die `F33f`_`[Standardbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Standardbasis]`_`f oder allgemeiner eine beliebige `F33f`_`[Orthonormalbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthonormalbasis]`_`f ist.

>>>>Zylinderkoordinaten

Siehe auch

:

Zylinderkoordinaten

e ^ ^ ρ ρ = ( cos ⁡ ⁡ ( φ φ ) sin ⁡ ⁡ ( φ φ ) 0 ) , e ^ ^ φ φ = ( − − sin ⁡ ⁡ ( φ φ ) cos ⁡ ⁡ ( φ φ ) 0 ) , e ^ ^ z = ( 0 0 1 ) {\\displaystyle {\\hat {e}}_{\\rho }={\\begin{pmatrix}\\cos(\\varphi )\\\\\\sin(\\varphi )\\\\0\\end{pmatrix}},\\quad {\\hat {e}}_{\\varphi }={\\begin{pmatrix}-\\sin(\\varphi )\\\\\\cos(\\varphi )\\\\0\\end{pmatrix}},\\quad {\\hat {e}}_{z}={\\begin{pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{pmatrix}}}

e ^ ^ ρ ρ , φ φ = e ^ ^ φ φ , e ^ ^ φ φ , φ φ = − − e ^ ^ ρ ρ e ^ ^ z , φ φ = 0 → → {\\displaystyle {\\hat {e}}_{\\rho ,\\varphi }={\\hat {e}}_{\\varphi },\\quad {\\hat {e}}_{\\varphi ,\\varphi }=-{\\hat {e}}_{\\rho }\\quad {\\hat {e}}_{z,\\varphi }={\\vec {0}}}

`F33f`_`[Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Winkelgeschwindigkeit]`_`f:

ω ω → → = φ φ ˙ ˙ e ^ ^ z → → e ^ ^ ˙ ˙ ρ ρ / φ φ / z = ω ω → → × × e ^ ^ ρ ρ / φ φ / z {\\displaystyle {\\vec {\\omega }}={\\dot {\\varphi }}{\\hat {e}}_{z}\\;\\rightarrow \\;{\\dot {\\hat {e}}}_{\\rho /\\varphi /z}={\\vec {\\omega }}\\times {\\hat {e}}_{\\rho /\\varphi /z}}

>>>>Kugelkoordinaten

Siehe auch

:

Kugelkoordinaten

e ^ ^ r = ( sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) cos ⁡ ⁡ ( φ φ ) sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) sin ⁡ ⁡ ( φ φ ) cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) , e ^ ^ ϑ ϑ = ( cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) cos ⁡ ⁡ ( φ φ ) cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) sin ⁡ ⁡ ( φ φ ) − − sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) , e ^ ^ φ φ = ( − − sin ⁡ ⁡ ( φ φ ) cos ⁡ ⁡ ( φ φ ) 0 ) {\\displaystyle {\\hat {e}}_{r}={\\begin{pmatrix}\\sin(\\vartheta )\\cos(\\varphi )\\\\\\sin(\\vartheta )\\sin(\\varphi )\\\\\\cos(\\vartheta )\\end{pmatrix}},\\quad {\\hat {e}}_{\\vartheta }={\\begin{pmatrix}\\cos(\\vartheta )\\cos(\\varphi )\\\\\\cos(\\vartheta )\\sin(\\varphi )\\\\-\\sin(\\vartheta )\\end{pmatrix}},\\quad {\\hat {e}}_{\\varphi }={\\begin{pmatrix}-\\sin(\\varphi )\\\\\\cos(\\varphi )\\\\0\\end{pmatrix}}}

`F33f`_`[Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Winkelgeschwindigkeit]`_`f:

ω ω → → = ( − − ϑ ϑ ˙ ˙ sin ⁡ ⁡ ( φ φ ) ϑ ϑ ˙ ˙ cos ⁡ ⁡ ( φ φ ) φ φ ˙ ˙ ) = φ φ ˙ ˙ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) e ^ ^ r − − φ φ ˙ ˙ sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) e ^ ^ ϑ ϑ + ϑ ϑ ˙ ˙ e ^ ^ φ φ → → e ^ ^ ˙ ˙ r / ϑ ϑ / φ φ = ω ω → → × × e ^ ^ r / ϑ ϑ / φ φ {\\displaystyle {\\begin{aligned}&{\\vec {\\omega }}={\\begin{pmatrix}-{\\dot {\\vartheta }}\\sin(\\varphi )\\\\{\\dot {\\vartheta }}\\cos(\\varphi )\\\\{\\dot {\\varphi }}\\end{pmatrix}}={\\dot {\\varphi }}\\cos(\\vartheta ){\\hat {e}}_{r}-{\\dot {\\varphi }}\\sin(\\vartheta ){\\hat {e}}_{\\vartheta }+{\\dot {\\vartheta }}{\\hat {e}}_{\\varphi }\\\\&\\rightarrow \\;{\\dot {\\hat {e}}}_{r/\\vartheta /\\varphi }={\\vec {\\omega }}\\times {\\hat {e}}_{r/\\vartheta /\\varphi }\\end{aligned}}}

>>>>Krummlinige Koordinaten

Siehe auch

:

Krummlinige Koordinaten

y 1 , y 2 , y 3 ∈ ∈ R {\\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\\in \\mathbb {R} }

b → → i = ∂ ∂ x → → ∂ ∂ y i , b → → i = grad ⁡ ⁡ ( y i ) = ∂ ∂ y i ∂ ∂ x → → → → b → → i ⋅ ⋅ b → → j = δ δ i j {\\displaystyle {\\vec {b}}_{i}={\\frac {\\partial {\\vec {x}}}{\\partial y_{i}}},\\quad {\\vec {b}}^{i}=\\operatorname {grad} (y_{i})={\\frac {\\partial y_{i}}{\\partial {\\vec {x}}}}\\quad \\rightarrow \\quad {\\vec {b}}_{i}\\cdot {\\vec {b}}^{j}=\\delta _{i}^{j}}

>>Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen

>>>Gâteaux-Differential

Siehe auch

:

Gâteaux-Differential

D f ( x ) [ h ] := d d s f ( x + s h ) | s = 0 = lim s → → 0 f ( x + s h ) − − f ( x ) s {\\displaystyle \\,\\mathrm {D} f(x)[h]:=\\left.{\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} s}}f(x+sh)\\right|_{s=0}=\\lim _{s\\rightarrow 0}{\\frac {f(x+sh)-f(x)}{s}}}

mit s ∈ ∈ R {\\displaystyle s\\in \\mathbb {R} } , f , x , h {\\displaystyle f,x,h} skalar-, vektor- oder tensorwertig aber x {\\displaystyle x} und h {\\displaystyle h} gleichartig.

`F33f`_`[Produktregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Produktregel]`_`f:

D ( f ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) ) [ h ] = D f ( x ) [ h ] ⋅ ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ ⋅ D g ( x ) [ h ] {\\displaystyle \\mathrm {D} (f(x)\\cdot g(x))[h]=\\mathrm {D} f(x)[h]\\cdot g(x)+f(x)\\cdot \\mathrm {D} g(x)[h]}

`F33f`_`[Kettenregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kettenregel]`_`f:

D f ( g ( x ) ) [ h ] = D f ( g ) [ D g ( x ) [ h ] ] {\\displaystyle \\mathrm {D} f{\\big (}g(x){\\big )}[h]=\\mathrm {D} f(g)[Dg(x)[h]]}

>>>Fréchet-Ableitung

Siehe auch

:

Fréchet-Ableitung

Existiert ein beschränkter linearer Operator A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} , sodass

A [ h ] = D f ( x ) [ h ] ∀ ∀ h {\\displaystyle {\\mathcal {A}}[h]={Df}(x)[h]{\\quad \\forall \\;}h}

gilt, so wird A {\\displaystyle {\\mathcal {A}}} Fréchet-Ableitung von f {\\displaystyle f} nach x {\\displaystyle x} genannt. Man schreibt dann auch

∂ ∂ f ∂ ∂ x = A {\\displaystyle {\\frac {\\partial f}{\\partial x}}={\\mathcal {A}}} .

>>>Ableitung von Potenzen eines Tensors

( T − − 1 ) ˙ ˙ = − − T − − 1 ⋅ ⋅ T ˙ ˙ ⋅ ⋅ T − − 1 = − − ( T − − 1 ⊗ ⊗ T ⊤ ⊤ − − 1 ) ⊤ ⊤ 23 : T ˙ ˙ d T − − 1 d T = − − ( T − − 1 ⊗ ⊗ T ⊤ ⊤ − − 1 ) ⊤ ⊤ 23 ( T ⊤ ⊤ − − 1 ) ˙ ˙ = − − T ⊤ ⊤ − − 1 ⋅ ⋅ T ˙ ˙ ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ T ⊤ ⊤ − − 1 = − − ( T ⊤ ⊤ − − 1 ⊗ ⊗ T ⊤ ⊤ − − 1 ) ⊤ ⊤ 24 : T ˙ ˙ d T ⊤ ⊤ − − 1 d T = − − ( T ⊤ ⊤ − − 1 ⊗ ⊗ T ⊤ ⊤ − − 1 ) ⊤ ⊤ 24 {\\displaystyle {\\begin{aligned}{\\big (}\\mathbf {T} ^{-1}{\\dot {{\\big )}\\;}}=&-\\mathbf {T} ^{-1}\\cdot {\\dot {\\mathbf {T} }}\\cdot {\\mathbf {T} }^{-1}=-\\left(\\mathbf {T} ^{-1}\\otimes \\mathbf {T} ^{\\top -1}\\right)^{\\stackrel {23}{\\top }}:{\\dot {\\mathbf {T} }}\\\\{\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {T} ^{-1}}{\\mathrm {d} \\mathbf {T} }}=&-\\left(\\mathbf {T} ^{-1}\\otimes \\mathbf {T} ^{\\top -1}\\right)^{\\stackrel {23}{\\top }}\\\\{\\big (}\\mathbf {T} ^{\\top -1}{\\dot {{\\big )}\\;}}=&-\\mathbf {T} ^{\\top -1}\\cdot {\\dot {\\mathbf {T} }}^{\\top }\\cdot {\\mathbf {T} }^{\\top -1}=-\\left(\\mathbf {T} ^{\\top -1}\\otimes \\mathbf {T} ^{\\top -1}\\right)^{\\stackrel {24}{\\top }}:{\\dot {\\mathbf {T} }}\\\\{\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {T} ^{\\top -1}}{\\mathrm {d} \\mathbf {T} }}=&-\\left(\\mathbf {T} ^{\\top -1}\\otimes \\mathbf {T} ^{\\top -1}\\right)^{\\stackrel {24}{\\top }}\\end{aligned}}}

siehe `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra#Tensoren vierter Stufe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f.

Allgemein mit n ∈ ℕ, >0, `!T`!0 := `!1`!:

D T n ( T ) [ H ] = ∑ ∑ m = 0 n − − 1 T m ⋅ ⋅ H ⋅ ⋅ T n − − m − − 1 d T n d T = ( ∑ ∑ m = 0 n − − 1 T m ⊗ ⊗ ( T n − − m − − 1 ) ⊤ ⊤ ) ⊤ ⊤ 23 {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {D} \\mathbf {T} ^{n}(\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]=&\\sum _{m=0}^{n-1}\\mathbf {T} ^{m}\\cdot \\mathbf {H\\cdot T} ^{n-m-1}\\\\{\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {T} ^{n}}{\\mathrm {d} \\mathbf {T} }}=&\\left(\\sum _{m=0}^{n-1}\\mathbf {T} ^{m}\\otimes \\left(\\mathbf {T} ^{n-m-1}\\right)^{\\top }\\right)^{\\stackrel {23}{\\top }}\\end{aligned}}}

`F33f`_`[#Gâteaux-Differential`#g-teaux-differential]`_`f der Inversen:

T ⋅ ⋅ T − − 1 = 1 → → D T ( T ) [ H ] ⏞ ⏞ H ⋅ ⋅ T − − 1 + T ⋅ ⋅ D T − − 1 ( T ) [ H ] = 0 → → D T − − 1 ( T ) [ H ] = − − T − − 1 ⋅ ⋅ H ⋅ ⋅ T − − 1 = − − ( T − − 1 ⊗ ⊗ T ⊤ ⊤ − − 1 ) ⊤ ⊤ 23 : H D T ⊤ ⊤ − − 1 ( T ) [ H ] = − − T ⊤ ⊤ − − 1 ⋅ ⋅ H ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ T ⊤ ⊤ − − 1 = − − ( T ⊤ ⊤ − − 1 ⊗ ⊗ T ⊤ ⊤ − − 1 ) ⊤ ⊤ 24 : H {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathbf {T\\cdot T} ^{-1}=&\\mathbf {1} \\;\\rightarrow \\quad \\overbrace {\\mathrm {D} \\mathbf {T} (\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]} ^{\\mathbf {H} }\\cdot \\mathbf {T} ^{-1}+\\mathbf {T} \\cdot \\mathrm {D} \\mathbf {T} ^{-1}(\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]=\\mathbf {0} \\\\\\rightarrow \\quad \\mathrm {D} \\mathbf {T} ^{-1}(\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]=&-\\mathbf {T} ^{-1}\\cdot \\mathbf {H} \\cdot \\mathbf {T} ^{-1}=-\\left(\\mathbf {T} ^{-1}\\otimes \\mathbf {T} ^{\\top -1}\\right)^{\\stackrel {23}{\\top }}:\\mathbf {H} \\\\\\mathrm {D} \\mathbf {T} ^{\\top -1}(\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]=&-\\mathbf {T} ^{\\top -1}\\cdot \\mathbf {H} ^{\\top }\\cdot \\mathbf {T} ^{\\top -1}=-\\left(\\mathbf {T} ^{\\top -1}\\otimes \\mathbf {T} ^{\\top -1}\\right)^{\\stackrel {24}{\\top }}:\\mathbf {H} \\end{aligned}}}

n ∈ ℕ, >0:

D T − − n ( T ) [ H ] = ∑ ∑ m = 1 − − n 0 T m ⋅ ⋅ D T − − 1 ( T ) [ H ] ⋅ ⋅ T 1 − − n − − m = − − ∑ ∑ m = 1 − − n 0 T m − − 1 ⋅ ⋅ H ⋅ ⋅ T − − n − − m d T − − n d T = − − ( ∑ ∑ m = 1 − − n 0 T m − − 1 ⊗ ⊗ ( T − − n − − m ) ⊤ ⊤ ) ⊤ ⊤ 23 {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {D} \\mathbf {T} ^{-n}(\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]=&\\sum _{m=1-n}^{0}\\mathbf {T} ^{m}\\cdot \\mathrm {D} \\mathbf {T} ^{-1}(\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]\\cdot \\mathbf {T} ^{1-n-m}\\\\=&-\\sum _{m=1-n}^{0}\\mathbf {T} ^{m-1}\\cdot \\mathbf {H\\cdot T} ^{-n-m}\\\\{\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {T} ^{-n}}{\\mathrm {d} \\mathbf {T} }}=&-\\left(\\sum _{m=1-n}^{0}\\mathbf {T} ^{m-1}\\otimes \\left(\\mathbf {T} ^{-n-m}\\right)^{\\top }\\right)^{\\stackrel {23}{\\top }}\\end{aligned}}}

D T ⊤ ⊤ − − n ( T ) [ H ] = − − ∑ ∑ m = 1 − − n 0 ( T m − − 1 ) ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ H ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ ( T − − n − − m ) ⊤ ⊤ d T ⊤ ⊤ − − n d T = − − ( ∑ ∑ m = 1 − − n 0 ( T m − − 1 ) ⊤ ⊤ ⊗ ⊗ ( T − − n − − m ) ⊤ ⊤ ) ⊤ ⊤ 24 {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {D} \\mathbf {T} ^{\\top -n}(\\mathbf {T} )[\\mathbf {H} ]=&-\\sum _{m=1-n}^{0}\\left(\\mathbf {T} ^{m-1}\\right)^{\\top }\\cdot \\mathbf {H^{\\top }\\cdot {\\big (}T} ^{-n-m}{\\big )}^{\\top }\\\\{\\frac {\\mathrm {d} \\mathbf {T} ^{\\top -n}}{\\mathrm {d} \\mathbf {T} }}=&-\\left(\\sum _{m=1-n}^{0}\\left(\\mathbf {T} ^{m-1}\\right)^{\\top }\\otimes \\left(\\mathbf {T} ^{-n-m}\\right)^{\\top }\\right)^{\\stackrel {24}{\\top }}\\end{aligned}}}

`F33f`_`[Orthogonaler Tensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthogonaler_Tensor]`_`f (`!Q·Q`!⊤=`!1`!):

Q ˙ ˙ ⊤ ⊤ = − − Q ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ Q ˙ ˙ ⋅ ⋅ Q ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\dot {\\mathbf {Q} }}^{\\top }=-\\mathbf {Q} ^{\\top }\\cdot {\\dot {\\mathbf {Q} }}\\cdot \\mathbf {Q} ^{\\top }}

>>Ableitungen nach dem Ort

>>>Nabla-Operator

Siehe auch

:

Nabla-Operator

`F33f`_`[#Kartesische Koordinaten`#kartesische-koordinaten]`_`f x → → {\\displaystyle {\\vec {x}}} : ∇ ∇ = e ^ ^ i ∂ ∂ ∂ ∂ x i {\\displaystyle \\nabla ={\\hat {e}}_{i}{\\frac {\\partial }{\\partial x_{i}}}}

`F33f`_`[#Zylinderkoordinaten`#zylinderkoordinaten]`_`f: ∇ ∇ = e → → ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ρ + 1 ρ ρ e → → φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ φ φ + e → → z ∂ ∂ ∂ ∂ z {\\displaystyle \\nabla ={\\vec {e}}_{\\rho }{\\frac {\\partial }{\\partial \\rho }}+{\\frac {1}{\\rho }}{\\vec {e}}_{\\varphi }{\\frac {\\partial }{\\partial \\varphi }}+{\\vec {e}}_{z}{\\frac {\\partial }{\\partial z}}}

`F33f`_`[#Kugelkoordinaten`#kugelkoordinaten]`_`f: ∇ ∇ = e → → r ∂ ∂ ∂ ∂ r + 1 r e → → ϑ ϑ ∂ ∂ ∂ ∂ ϑ ϑ + 1 r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) e → → φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ φ φ {\\displaystyle \\nabla ={\\vec {e}}_{r}{\\frac {\\partial }{\\partial r}}+{\\frac {1}{r}}{\\vec {e}}_{\\vartheta }{\\frac {\\partial }{\\partial \\vartheta }}+{\\frac {1}{r\\sin(\\vartheta )}}{\\vec {e}}_{\\varphi }{\\frac {\\partial }{\\partial \\varphi }}}

`F33f`_`[#Krummlinige Koordinaten`#krummlinige-koordinaten]`_`f y → → {\\displaystyle {\\vec {y}}} : ∇ ∇ = b → → j ∂ ∂ ∂ ∂ y j {\\displaystyle \\nabla ={\\vec {b}}^{j}{\\frac {\\partial }{\\partial y_{j}}}} mit b → → j = ∂ ∂ y j ∂ ∂ x i e ^ ^ i {\\displaystyle {\\vec {b}}^{j}={\\frac {\\partial y_{j}}{\\partial x_{i}}}{\\hat {e}}_{i}} .

>>>Gradient

Siehe auch

:

Gradient (Mathematik)

>>>>Definition des Gradienten/Allgemeines

Definierende Eigenschaft bei skalar- oder vektorwertiger Funktion `*f`*:`:cite-ref-hbphys-1-0[`F5bf`_`[1`#cite-note-hbphys-1]`_`f]

f ( y → → ) − − f ( x → → ) = grad ⁡ ⁡ ( f ) ⋅ ⋅ ( y → → − − x → → ) + O ( | y → → − − x → → | ) {\\displaystyle f({\\vec {y}})-f({\\vec {x}})=\\operatorname {grad} (f)\\cdot ({\\vec {y}}-{\\vec {x}})+{\\mathcal {O}}(|{\\vec {y}}-{\\vec {x}}|)} wenn y → → → → x → → {\\displaystyle {\\vec {y}}\\to {\\vec {x}}}

Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig. Berechnung bei skalar- oder vektorwertiger Funktion `*f`*:

grad ⁡ ⁡ ( f ) ⋅ ⋅ h → → = d d s f ( x → → + s h → → ) | s = 0 = lim s → → 0 f ( x → → + s h → → ) − − f ( x → → ) s ∀ ∀ h → → ∈ ∈ V {\\displaystyle \\operatorname {grad} (f)\\cdot {\\vec {h}}=\\left.{\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} s}}f({\\vec {x}}+s{\\vec {h}})\\right|_{s=0}=\\lim _{s\\to 0}{\\frac {f({\\vec {x}}+s{\\vec {h}})-f({\\vec {x}})}{s}}\\quad \\forall \\;{\\vec {h}}\\in \\mathbb {V} }

`F33f`_`[Integrabilitätsbedingung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gradient_(Mathematik)]`_`f: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines `F33f`_`[Skalarpotentials`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Skalarpotential]`_`f:

rot ⁡ ⁡ ( f → → ) = 0 → → → → ∃ ∃ g : : f → → = grad ⁡ ⁡ ( g ) {\\displaystyle \\operatorname {rot} ({\\vec {f}})={\\vec {0}}\\quad \\rightarrow \\quad \\exists g\\colon {\\vec {f}}=\\operatorname {grad} (g)} .

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

• Volumen v {\\displaystyle v} mit

• Oberfläche a {\\displaystyle a} mit `F33f`_`[äußerem vektoriellem Oberflächenelement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Oberflächenintegral]`_`f d a → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {a}}}

grad ⁡ ⁡ ( f ) = lim v → → 0 ( 1 v ∫ ∫ a f d a → → ) {\\displaystyle \\operatorname {grad} (f)=\\lim _{v\\to 0}\\left({\\frac {1}{v}}\\int _{a}f\\,\\mathrm {d} {\\vec {a}}\\right)}

Skalarfeld `*f`*:

grad ⁡ ⁡ ( f ) = ∇ ∇ f =: ∂ ∂ f ∂ ∂ x → → {\\displaystyle \\operatorname {grad} (f)=\\nabla f=:{\\frac {\\partial f}{\\partial {\\vec {x}}}}}

Vektorfeld f → → = f i e ^ ^ i {\\displaystyle {\\vec {f}}=f_{i}{\\hat {e}}_{i}} :`:cite-ref-altenbach-2-0[`F5bf`_`[2`#cite-note-altenbach-2]`_`f]

g r a d ( f → → ) = ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) ⊤ ⊤ =: ∂ ∂ f → → ∂ ∂ x → → {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})=(\\nabla \\otimes {\\vec {f}})^{\\top }=:{\\frac {\\partial {\\vec {f}}}{\\partial {\\vec {x}}}}}

g r a d ( x → → ) = 1 {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {x}})=\\mathbf {1} }

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

g r a d ( f ) = d i v ( f 1 ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f)=\\mathrm {div} (f\\mathbf {1} )=\\nabla \\cdot (f\\mathbf {1} )}

g r a d ( f ) × × c → → = r o t ( f c → → ) {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f)\\times {\\vec {c}}=\\mathrm {rot} (f{\\vec {c}})}

>>>>Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen

`F33f`_`[#Kartesische Koordinaten`#kartesische-koordinaten]`_`f:

g r a d ( f ) = f , i e ^ ^ i {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f)=f_{,i}{\\hat {e}}_{i}}

g r a d ( f → → ) = f → → , i ⊗ ⊗ e ^ ^ i = e ^ ^ i ⊗ ⊗ g r a d ( f i ) = f i , j e ^ ^ i ⊗ ⊗ e ^ ^ j {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})={\\vec {f}}_{,i}\\otimes {\\hat {e}}_{i}={\\hat {e}}_{i}\\otimes \\mathrm {grad} (f_{i})=f_{i,j}{\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\hat {e}}_{j}}

`F33f`_`[#Zylinderkoordinaten`#zylinderkoordinaten]`_`f:

g r a d ( f ) = f , ρ ρ e ^ ^ ρ ρ + f , φ φ ρ ρ e ^ ^ φ φ + f , z e ^ ^ z {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f)=f_{,\\rho }{\\hat {e}}_{\\rho }+{\\frac {f_{,\\varphi }}{\\rho }}{\\hat {e}}_{\\varphi }+f_{,z}{\\hat {e}}_{z}}

g r a d ( f → → ) = e ^ ^ ρ ρ ⊗ ⊗ g r a d ( f ρ ρ ) + e ^ ^ φ φ ⊗ ⊗ g r a d ( f φ φ ) + e ^ ^ z ⊗ ⊗ g r a d ( f z ) + 1 ρ ρ ( f ρ ρ e ^ ^ φ φ − − f φ φ e ^ ^ ρ ρ ) ⊗ ⊗ e ^ ^ φ φ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{\\rho }\\otimes \\mathrm {grad} (f_{\\rho })+{\\hat {e}}_{\\varphi }\\otimes \\mathrm {grad} (f_{\\varphi })+{\\hat {e}}_{z}\\otimes \\mathrm {grad} (f_{z})\\\\&+{\\frac {1}{\\rho }}(f_{\\rho }{\\hat {e}}_{\\varphi }-f_{\\varphi }{\\hat {e}}_{\\rho })\\otimes {\\hat {e}}_{\\varphi }\\end{aligned}}}

`F33f`_`[#Kugelkoordinaten`#kugelkoordinaten]`_`f:

g r a d ( f ) = f , r e ^ ^ r + f , ϑ ϑ r e ^ ^ ϑ ϑ + f , φ φ r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) e ^ ^ φ φ {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f)=f_{,r}{\\hat {e}}_{r}+{\\frac {f_{,\\vartheta }}{r}}{\\hat {e}}_{\\vartheta }+{\\frac {f_{,\\varphi }}{r\\sin(\\vartheta )}}{\\hat {e}}_{\\varphi }}

g r a d ( f → → ) = e ^ ^ r ⊗ ⊗ g r a d ( f r ) + e ^ ^ ϑ ϑ ⊗ ⊗ g r a d ( f ϑ ϑ ) + e ^ ^ φ φ ⊗ ⊗ g r a d ( f φ φ ) + f r r ( 1 − − e ^ ^ r ⊗ ⊗ e ^ ^ r ) − − e ^ ^ r ⊗ ⊗ f ϑ ϑ e ^ ^ ϑ ϑ + f φ φ e ^ ^ φ φ r + f ϑ ϑ e ^ ^ φ φ − − f φ φ e ^ ^ ϑ ϑ r tan ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ⊗ ⊗ e ^ ^ φ φ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{r}\\otimes \\mathrm {grad} (f_{r})+{\\hat {e}}_{\\vartheta }\\otimes \\mathrm {grad} (f_{\\vartheta })+{\\hat {e}}_{\\varphi }\\otimes \\mathrm {grad} (f_{\\varphi })\\\\&+{\\frac {f_{r}}{r}}(\\mathbf {1} -{\\hat {e}}_{r}\\otimes {\\hat {e}}_{r})-{\\hat {e}}_{r}\\otimes {\\frac {f_{\\vartheta }{\\hat {e}}_{\\vartheta }+f_{\\varphi }{\\hat {e}}_{\\varphi }}{r}}+{\\frac {f_{\\vartheta }{\\hat {e}}_{\\varphi }-f_{\\varphi }{\\hat {e}}_{\\vartheta }}{r\\tan(\\vartheta )}}\\otimes {\\hat {e}}_{\\varphi }\\end{aligned}}}

`F33f`_`[#Krummlinige Koordinaten`#krummlinige-koordinaten]`_`f:

Siehe auch

:

Gradient eines Vektorfeldes

`F33f`_`[Christoffelsymbole`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Christoffelsymbole]`_`f: Γ Γ i j k = g → → i , j ⋅ ⋅ g → → k {\\displaystyle \\Gamma _{ij}^{k}={\\vec {g}}_{i,j}\\cdot {\\vec {g}}^{k}}

Vektorfelder:

g r a d ( g → → i ) = Γ Γ i j k g → → k ⊗ ⊗ g → → j {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {g}}_{i})=\\Gamma _{ij}^{k}{\\vec {g}}_{k}\\otimes {\\vec {g}}^{j}}

g r a d ( g → → k ) = − − Γ Γ i j k g → → i ⊗ ⊗ g → → j {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {g}}^{k})=-\\Gamma _{ij}^{k}{\\vec {g}}^{i}\\otimes {\\vec {g}}^{j}}

g r a d ( f i g → → i ) = f i | j g → → i ⊗ ⊗ g → → j {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f^{i}{\\vec {g}}_{i})=\\left.f^{i}\\right|_{j}{\\vec {g}}_{i}\\otimes {\\vec {g}}^{j}}

g r a d ( f i g → → i ) = f i | j g → → i ⊗ ⊗ g → → j {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f_{i}{\\vec {g}}^{i})=\\left.f_{i}\\right|_{j}{\\vec {g}}^{i}\\otimes {\\vec {g}}^{j}}

Mit den `F33f`_`[kovarianten Ableitungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kovariante_Ableitung]`_`f

f i | j = f , j i + Γ Γ k j i f k {\\displaystyle \\left.f^{i}\\right|_{j}=f_{,j}^{i}+\\Gamma _{kj}^{i}f^{k}}

f i | j = f i , j − − Γ Γ i j k f k {\\displaystyle \\left.f_{i}\\right|_{j}=f_{i,j}-\\Gamma _{ij}^{k}f_{k}}

Tensorfelder:

g r a d ( T ) [ h → → ] = ( h → → ⋅ ⋅ g → → k ) T , k = h → → ⋅ ⋅ ( g → → k ⊗ ⊗ T , k ) = ( T , k ⊗ ⊗ g → → k ) ⋅ ⋅ h → → {\\displaystyle \\mathrm {grad} (\\mathbf {T} )[{\\vec {h}}]=({\\vec {h}}\\cdot {\\vec {g}}^{k})\\mathbf {T} _{,k}={\\vec {h}}\\cdot ({\\vec {g}}^{k}\\otimes \\mathbf {T} _{,k})=(\\mathbf {T} _{,k}\\otimes {\\vec {g}}^{k})\\cdot {\\vec {h}}}

Soll das Argument wie beim Vektorgradient rechts vom Operator stehen, dann lautet der Tensorgradient

g r a d ( T ) = T , k ⊗ ⊗ g → → k {\\displaystyle \\mathrm {grad} (\\mathbf {T} )=\\mathbf {T} _{,k}\\otimes {\\vec {g}}^{k}}

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:

g r a d ( T i j g → → i ⊗ ⊗ g → → j ) = T i j | k g → → i ⊗ ⊗ g → → j ⊗ ⊗ g → → k , T i j | k = T i j , k − − Γ Γ i k l T l j − − Γ Γ j k l T i l g r a d ( T i j g → → i ⊗ ⊗ g → → j ) = T i j | k g → → i ⊗ ⊗ g → → j ⊗ ⊗ g → → k , T i j | k = T , k i j + Γ Γ l k i T l j + Γ Γ l k j T i l g r a d ( T i . j g → → i ⊗ ⊗ g → → j ) = T i . j | k g → → i ⊗ ⊗ g → → j ⊗ ⊗ g → → k , T i . j | k = T i , k . j − − Γ Γ i k l T l . j + Γ Γ l k j T i . l g r a d ( T . j i ) g → → i ⊗ ⊗ g → → j = T . j i | k g → → i ⊗ ⊗ g → → j ⊗ ⊗ g → → k , T . j i | k = T . j , k i + Γ Γ l k i T . j l − − Γ Γ j k l T . l i {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {grad} (T^{ij}{\\vec {g}}_{i}\\otimes {\\vec {g}}_{j})=&\\left.T_{ij}\\right|_{k}{\\vec {g}}^{i}\\otimes {\\vec {g}}^{j}\\otimes {\\vec {g}}^{k},\\quad \\left.T_{ij}\\right|_{k}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=T_{ij,k}-\\Gamma _{ik}^{l}T_{lj}-\\Gamma _{jk}^{l}T_{il}\\\\\\mathrm {grad} (T^{ij}{\\vec {g}}_{i}\\otimes {\\vec {g}}_{j})=&\\left.T^{ij}\\right|_{k}{\\vec {g}}_{i}\\otimes {\\vec {g}}_{j}\\otimes {\\vec {g}}^{k},\\quad \\left.T^{ij}\\right|_{k}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=T_{,k}^{ij}+\\Gamma _{lk}^{i}T^{lj}+\\Gamma _{lk}^{j}T^{il}\\\\\\mathrm {grad} (T_{i}^{.j}{\\vec {g}}^{i}\\otimes {\\vec {g}}_{j})=&\\left.T_{i}^{.j}\\right|_{k}{\\vec {g}}^{i}\\otimes {\\vec {g}}_{j}\\otimes {\\vec {g}}^{k},\\quad \\left.T_{i}^{.j}\\right|_{k}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=T_{i,k}^{.j}-\\Gamma _{ik}^{l}T_{l}^{.j}+\\Gamma _{lk}^{j}T_{i}^{.l}\\\\\\mathrm {grad} (T_{.j}^{i}){\\vec {g}}_{i}\\otimes {\\vec {g}}^{j}=&\\left.T_{.j}^{i}\\right|_{k}{\\vec {g}}_{i}\\otimes {\\vec {g}}^{j}\\otimes {\\vec {g}}^{k},\\quad \\left.T_{.j}^{i}\\right|_{k}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=T_{.j,k}^{i}+\\Gamma _{lk}^{i}T_{.j}^{l}-\\Gamma _{jk}^{l}T_{.l}^{i}\\end{aligned}}}

>>>>Produktregel für Gradienten

g r a d ( f g ) = ( f , i g + f g , i ) e ^ ^ i = g r a d ( f ) g + f g r a d ( g ) g r a d ( f g → → ) = ( f , i g → → + f g → → , i ) ⊗ ⊗ e ^ ^ i = g → → ⊗ ⊗ g r a d ( f ) + f g r a d ( g → → ) g r a d ( f → → ⋅ ⋅ g → → ) = ( f → → , i ⋅ ⋅ g → → + f → → ⋅ ⋅ g → → , i ) e ^ ^ i = g → → ⋅ ⋅ g r a d ( f → → ) + f → → ⋅ ⋅ g r a d ( g → → ) g r a d ( f → → × × g → → ) = ( f → → , i × × g → → + f → → × × g → → , i ) ⊗ ⊗ e ^ ^ i = f → → × × g r a d ( g → → ) − − g → → × × g r a d ( f → → ) {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}\\mathrm {grad} (fg)&=&(f_{,i}g+fg_{,i}){\\hat {e}}_{i}&=&\\mathrm {grad} (f)g+f\\mathrm {grad} (g)\\\\\\mathrm {grad} (f{\\vec {g}})&=&(f_{,i}{\\vec {g}}+f{\\vec {g}}_{,i})\\otimes {\\hat {e}}_{i}&=&{\\vec {g}}\\otimes \\mathrm {grad} (f)+f\\mathrm {grad} ({\\vec {g}})\\\\\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}\\cdot {\\vec {g}})&=&\\left({\\vec {f}}_{,i}\\cdot {\\vec {g}}+{\\vec {f}}\\cdot {\\vec {g}}_{,i}\\right){\\hat {e}}_{i}&=&{\\vec {g}}\\cdot \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})+{\\vec {f}}\\cdot \\mathrm {grad} ({\\vec {g}})\\\\\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}\\times {\\vec {g}})&=&\\left({\\vec {f}}_{,i}\\times {\\vec {g}}+{\\vec {f}}\\times {\\vec {g}}_{,i}\\right)\\otimes {\\hat {e}}_{i}&=&{\\vec {f}}\\times \\mathrm {grad} ({\\vec {g}})-{\\vec {g}}\\times \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\end{array}}}

In drei Dimensionen ist speziell`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

g r a d ( f → → ⋅ ⋅ g → → ) = g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ g → → + g r a d ( g → → ) ⋅ ⋅ f → → + f → → × × r o t ( g → → ) + g → → × × r o t ( f → → ) {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {f}}\\cdot {\\vec {g}})=\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot {\\vec {g}}+\\mathrm {grad} ({\\vec {g}})\\cdot {\\vec {f}}+{\\vec {f}}\\times \\mathrm {rot} ({\\vec {g}})+{\\vec {g}}\\times \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})}

Beliebige Basis:

g r a d ( f i b → → i ) = b → → i ⊗ ⊗ g r a d ( f i ) + f i g r a d ( b → → i ) {\\displaystyle \\mathrm {grad} (f_{i}{\\vec {b}}_{i})={\\vec {b}}_{i}\\otimes \\mathrm {grad} (f_{i})+f_{i}\\,\\mathrm {grad} ({\\vec {b}}_{i})}

>>>Divergenz

Siehe auch

:

Divergenz eines Vektorfeldes

>>>>Definition der Divergenz/Allgemeines

Vektorfeld f → → {\\displaystyle {\\vec {f}}} :

d i v ( f → → ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ f → → = S p ( g r a d ( f → → ) ) {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {f}})=\\nabla \\cdot {\\vec {f}}=\\mathrm {Sp} {\\big (}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}){\\big )}}

d i v ( x → → ) = S p ( g r a d ( x → → ) ) = S p ( 1 ) = 3 {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {x}})=\\mathrm {Sp} {\\big (}\\mathrm {grad} ({\\vec {x}}){\\big )}=\\mathrm {Sp} (\\mathbf {1} )=3}

Klassische Definition für ein Tensorfeld `!T`!:`:cite-ref-hbphys-1-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-hbphys-1]`_`f]

d i v ( T ) ⋅ ⋅ c → → = d i v ( T ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ c → → ) ∀ ∀ c → → ∈ ∈ V {\\displaystyle \\mathrm {div} (\\mathbf {T} )\\cdot {\\vec {c}}=\\mathrm {div} \\left(\\mathbf {T} ^{\\top }\\cdot {\\vec {c}}\\right)\\quad \\forall {\\vec {c}}\\in \\mathbb {V} }

→ d i v ( T ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( T ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\mathrm {div} (\\mathbf {T} )=\\nabla \\cdot \\left(\\mathbf {T} ^{\\top }\\right)}

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen v {\\displaystyle v} mit

• Oberfläche a {\\displaystyle a} mit `F33f`_`[äußerem vektoriellem Oberflächenelement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Oberflächenintegral]`_`f d a → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {a}}}

d i v ( f → → ) = lim v → → 0 ( 1 v ∫ ∫ a f → → ⋅ ⋅ d a → → ) {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {f}})=\\lim _{v\\to 0}\\left({\\frac {1}{v}}\\int _{a}{\\vec {f}}\\;\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\right)}

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

d i v ( f → → ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ f → → = S p ( g r a d ( f → → ) ) d i v ( f 1 ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f 1 ) = g r a d ( f ) {\\displaystyle {\\begin{array}{lcccl}\\mathrm {div} ({\\vec {f}})&=&\\nabla \\cdot {\\vec {f}}&=&\\mathrm {Sp(grad} ({\\vec {f}}))\\\\\\mathrm {div} (f\\mathbf {1} )&=&\\nabla \\cdot (f\\mathbf {1} )&=&\\mathrm {grad} (f)\\end{array}}}

>>>>Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen

`F33f`_`[#Kartesische Koordinaten`#kartesische-koordinaten]`_`f:

d i v ( f → → ) = f → → , i ⋅ ⋅ e ^ ^ i = f i , i {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {f}})={\\vec {f}}_{,i}\\cdot {\\hat {e}}_{i}=f_{i,i}}

d i v ( T ) = T , i ⋅ ⋅ e ^ ^ i = T i j , j e ^ ^ i {\\displaystyle \\mathrm {div} (\\mathbf {T} )=\\mathbf {T} _{,i}\\cdot {\\hat {e}}_{i}=T_{ij,j}{\\hat {e}}_{i}}

∇ ∇ ⋅ ⋅ T = e ^ ^ i ⋅ ⋅ T , i = T i j , i e ^ ^ j = T j i , j e ^ ^ i {\\displaystyle \\nabla \\cdot \\mathbf {T} ={\\hat {e}}_{i}\\cdot \\mathbf {T} _{,i}=T_{ij,i}{\\hat {e}}_{j}=T_{ji,j}{\\hat {e}}_{i}}

`F33f`_`[#Zylinderkoordinaten`#zylinderkoordinaten]`_`f:

d i v ( f → → ) = 1 ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ρ ( ρ ρ f ρ ρ ) + 1 ρ ρ f φ φ , φ φ + f z , z {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {f}})={\\frac {1}{\\rho }}{\\frac {\\partial }{\\partial \\rho }}(\\rho f_{\\rho })+{\\frac {1}{\\rho }}f_{\\varphi ,\\varphi }+f_{z,z}}

d i v ( T ) = ( T ρ ρ ρ ρ , ρ ρ + 1 ρ ρ ( T ρ ρ φ φ , φ φ + T ρ ρ ρ ρ − − T φ φ φ φ ) + T ρ ρ z , z ) e ^ ^ ρ ρ + ( T φ φ ρ ρ , ρ ρ + 1 ρ ρ ( T φ φ φ φ , φ φ + T ρ ρ φ φ + T φ φ ρ ρ ) + T φ φ z , z ) e ^ ^ φ φ + ( T z ρ ρ , ρ ρ + 1 ρ ρ ( T z φ φ , φ φ + T z ρ ρ ) + T z z , z ) e ^ ^ z {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {div} (\\mathbf {T} )=&\\left(T_{\\rho \\rho ,\\rho }+{\\frac {1}{\\rho }}(T_{\\rho \\varphi ,\\varphi }+T_{\\rho \\rho }-T_{\\varphi \\varphi })+T_{\\rho z,z}\\right){\\hat {e}}_{\\rho }\\\\&+\\left(T_{\\varphi \\rho ,\\rho }+{\\frac {1}{\\rho }}(T_{\\varphi \\varphi ,\\varphi }+T_{\\rho \\varphi }+T_{\\varphi \\rho })+T_{\\varphi z,z}\\right){\\hat {e}}_{\\varphi }\\\\&+\\left(T_{z\\rho ,\\rho }+{\\frac {1}{\\rho }}(T_{z\\varphi ,\\varphi }+T_{z\\rho })+T_{zz,z}\\right){\\hat {e}}_{z}\\end{aligned}}}

∇ ∇ ⋅ ⋅ T = d i v ( T ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\nabla \\cdot \\mathbf {T} =\\mathrm {div} \\left(\\mathbf {T} ^{\\top }\\right)} ergibt sich hieraus durch Vertauschen von `*Tab`* durch `*Tba`*.

`F33f`_`[#Kugelkoordinaten`#kugelkoordinaten]`_`f:

d i v ( f → → ) = f r , r + 2 f r + f ϑ ϑ , ϑ ϑ r + f ϑ ϑ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) + f φ φ , φ φ r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) d i v ( T ) = ( T r r , r + 2 T r r − − T ϑ ϑ ϑ ϑ − − T φ φ φ φ + T r ϑ ϑ , ϑ ϑ r + T r φ φ , φ φ + T r ϑ ϑ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) e ^ ^ r ( T ϑ ϑ r , r + 2 T ϑ ϑ r + T r ϑ ϑ + T ϑ ϑ ϑ ϑ , ϑ ϑ r + ( T ϑ ϑ ϑ ϑ − − T φ φ φ φ ) cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) + T ϑ ϑ φ φ , φ φ r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) e ^ ^ ϑ ϑ ( T φ φ r , r + 2 T φ φ r + T r φ φ + T φ φ ϑ ϑ , ϑ ϑ r + ( T ϑ ϑ φ φ + T φ φ ϑ ϑ ) cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) + T φ φ φ φ , φ φ r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) e ^ ^ φ φ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {div} ({\\vec {f}})=&f_{r,r}+{\\frac {2f_{r}+f_{\\vartheta ,\\vartheta }}{r}}+{\\frac {f_{\\vartheta }\\cos(\\vartheta )+f_{\\varphi ,\\varphi }}{r\\sin(\\vartheta )}}\\\\\\mathrm {div} (\\mathbf {T} )=&\\left(T_{rr,r}+{\\frac {2T_{rr}-T_{\\vartheta \\vartheta }-T_{\\varphi \\varphi }+T_{r\\vartheta ,\\vartheta }}{r}}+{\\frac {T_{r\\varphi ,\\varphi }+T_{r\\vartheta }\\cos(\\vartheta )}{r\\sin(\\vartheta )}}\\right){\\hat {e}}_{r}\\\\&\\left(T_{\\vartheta r,r}+{\\frac {2T_{\\vartheta r}+T_{r\\vartheta }+T_{\\vartheta \\vartheta ,\\vartheta }}{r}}+{\\frac {(T_{\\vartheta \\vartheta }-T_{\\varphi \\varphi })\\cos(\\vartheta )+T_{\\vartheta \\varphi ,\\varphi }}{r\\sin(\\vartheta )}}\\right){\\hat {e}}_{\\vartheta }\\\\&\\left(T_{\\varphi r,r}+{\\frac {2T_{\\varphi r}+T_{r\\varphi }+T_{\\varphi \\vartheta ,\\vartheta }}{r}}+{\\frac {(T_{\\vartheta \\varphi }+T_{\\varphi \\vartheta })\\cos(\\vartheta )+T_{\\varphi \\varphi ,\\varphi }}{r\\sin(\\vartheta )}}\\right){\\hat {e}}_{\\varphi }\\end{aligned}}}

∇ ∇ ⋅ ⋅ T = d i v ( T ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\nabla \\cdot \\mathbf {T} =\\mathrm {div} \\left(\\mathbf {T} ^{\\top }\\right)} ergibt sich hieraus durch Vertauschen von `*Tab`* durch `*Tba`*.

>>>>Produktregel für Divergenzen

d i v ( f g → → ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f g → → ) = ( f , i g → → + f g → → , i ) ⋅ ⋅ e ^ ^ i = g r a d ( f ) ⋅ ⋅ g → → + f d i v ( g → → ) {\\displaystyle \\mathrm {div} (f{\\vec {g}})=\\nabla \\cdot (f{\\vec {g}})=\\left(f_{,i}{\\vec {g}}+f{\\vec {g}}_{,i}\\right)\\cdot {\\hat {e}}_{i}=\\mathrm {grad} (f)\\cdot {\\vec {g}}+f\\mathrm {div} ({\\vec {g}})}

d i v ( f → → × × g → → ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f → → × × g → → ) = ( f → → , i × × g → → + f → → × × g → → , i ) ⋅ ⋅ e ^ ^ i = g → → ⋅ ⋅ r o t ( f → → ) − − f → → ⋅ ⋅ r o t ( g → → ) {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {f}}\\times {\\vec {g}})=\\nabla \\cdot ({\\vec {f}}\\times {\\vec {g}})=\\left({\\vec {f}}_{,i}\\times {\\vec {g}}+{\\vec {f}}\\times {\\vec {g}}_{,i}\\right)\\cdot {\\hat {e}}_{i}={\\vec {g}}\\cdot \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})-{\\vec {f}}\\cdot \\mathrm {rot} ({\\vec {g}})}

d i v ( f → → ⊗ ⊗ g → → ) = ( f → → , i ⊗ ⊗ g → → + f → → ⊗ ⊗ g → → , i ) ⋅ ⋅ e ^ ^ i = g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ g → → + d i v ( g → → ) f → → d i v ( f T ) = ( f , i T + f T , i ) ⋅ ⋅ e ^ ^ i = T ⋅ ⋅ g r a d ( f ) + f d i v ( T ) d i v ( T ⋅ ⋅ f → → ) = ( T , i ⋅ ⋅ f → → + T ⋅ ⋅ f → → , i ) ⋅ ⋅ e ^ ^ i = d i v ( T ⊤ ⊤ ) ⋅ ⋅ f → → + T ⊤ ⊤ : g r a d ( f → → ) d i v ( f → → × × T ) = ( f → → , i × × T + f → → × × T , i ) ⋅ ⋅ e ^ ^ i = i → → ( g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ T ⊤ ⊤ ) + f → → × × d i v ( T ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {div} ({\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}})=&\\left({\\vec {f}}_{,i}\\otimes {\\vec {g}}+{\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}}_{,i}\\right)\\cdot {\\hat {e}}_{i}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot {\\vec {g}}+\\mathrm {div} ({\\vec {g}}){\\vec {f}}\\\\\\mathrm {div} (f\\mathbf {T} )=&(f_{,i}\\mathbf {T} +f\\mathbf {T} _{,i})\\cdot {\\hat {e}}_{i}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&\\mathbf {T} \\cdot \\mathrm {grad} (f)+f\\mathrm {div} (\\mathbf {T} )\\\\\\mathrm {div} (\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}})=&\\left(\\mathbf {T} _{,i}\\cdot {\\vec {f}}+\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}}_{,i}\\right)\\cdot {\\hat {e}}_{i}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&\\mathrm {div} (\\mathbf {T} ^{\\top })\\cdot {\\vec {f}}+\\mathbf {T} ^{\\top }:\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\\\\\mathrm {div} ({\\vec {f}}\\times \\mathbf {T} )=&({\\vec {f}}_{,i}\\times \\mathbf {T} +{\\vec {f}}\\times \\mathbf {T} _{,i})\\cdot {\\hat {e}}_{i}\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&{\\vec {\\mathrm {i} }}\\left(\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot \\mathbf {T} ^{\\top }\\right)+{\\vec {f}}\\times \\mathrm {div} (\\mathbf {T} )\\end{aligned}}}

∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f → → ⊗ ⊗ g → → ) = e ^ ^ i ⋅ ⋅ ( f → → , i ⊗ ⊗ g → → + f → → ⊗ ⊗ g → → , i ) = ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ f → → ) g → → + ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ g → → ) ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ f → → ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f T ) = e ^ ^ i ⋅ ⋅ ( f , i T + f T , i ) = ( ∇ ∇ f ) ⋅ ⋅ T + f ∇ ∇ ⋅ ⋅ T ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( T ⋅ ⋅ f → → ) = e ^ ^ i ⋅ ⋅ ( T , i ⋅ ⋅ f → → + T ⋅ ⋅ f → → , i ) = ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ T ) ⋅ ⋅ f → → + T : ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( T × × f → → ) = e ^ ^ i ⋅ ⋅ ( T , i × × f → → + T × × f → → , i ) = ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ T ) × × f → → − − i → → ( ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ T ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\nabla \\cdot ({\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}})=&{\\hat {e}}_{i}\\cdot \\left({\\vec {f}}_{,i}\\otimes {\\vec {g}}+{\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}}_{,i}\\right)\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&(\\nabla \\cdot {\\vec {f}}){\\vec {g}}+(\\nabla \\otimes {\\vec {g}})^{\\top }\\cdot {\\vec {f}}\\\\\\nabla \\cdot (f\\mathbf {T} )=&{\\hat {e}}_{i}\\cdot (f_{,i}\\mathbf {T} +f\\mathbf {T} _{,i})\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&(\\nabla f)\\cdot \\mathbf {T} +f\\nabla \\cdot \\mathbf {T} \\\\\\nabla \\cdot (\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{i}\\cdot \\left(\\mathbf {T} _{,i}\\cdot {\\vec {f}}+\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}}_{,i}\\right)\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&(\\nabla \\cdot \\mathbf {T} )\\cdot {\\vec {f}}+\\mathbf {T} :(\\nabla \\otimes {\\vec {f}})\\\\\\nabla \\cdot (\\mathbf {T} \\times {\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{i}\\cdot (\\mathbf {T} _{,i}\\times {\\vec {f}}+\\mathbf {T} \\times {\\vec {f}}_{,i})\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&(\\nabla \\cdot \\mathbf {T} )\\times {\\vec {f}}-{\\vec {\\mathrm {i} }}\\left((\\nabla \\otimes {\\vec {f}})^{\\top }\\cdot \\mathbf {T} \\right)\\end{aligned}}}

Beliebige Basis:

d i v ( f i b → → i ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f i b → → i ) = g r a d ( f i ) ⋅ ⋅ b → → i + f i d i v ( b → → i ) {\\displaystyle \\mathrm {div} (f_{i}{\\vec {b}}_{i})=\\nabla \\cdot (f_{i}{\\vec {b}}_{i})=\\mathrm {grad} (f_{i})\\cdot {\\vec {b}}_{i}+f_{i}\\,\\mathrm {div} ({\\vec {b}}_{i})}

d i v ( T i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j ) = ( g r a d ( T i j ) ⋅ ⋅ b → → j ) b → → i + T i j ( g r a d ( b → → i ) ⋅ ⋅ b → → j + d i v ( b → → j ) b → → i ) {\\displaystyle \\mathrm {div} (T^{ij}{\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\vec {b}}_{j})=(\\mathrm {grad} (T^{ij})\\cdot {\\vec {b}}_{j}){\\vec {b}}_{i}+T^{ij}\\,{\\big (}\\mathrm {grad} ({\\vec {b}}_{i})\\cdot {\\vec {b}}_{j}+\\mathrm {div} ({\\vec {b}}_{j}){\\vec {b}}_{i}{\\big )}}

∇ ∇ ⋅ ⋅ ( T i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j ) = ( ( ∇ ∇ T i j ) ⋅ ⋅ b → → i ) b → → j + T i j ( ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ b → → i ) b → → j + ( ∇ ∇ b → → j ) ⋅ ⋅ b → → i ) {\\displaystyle \\nabla \\cdot (T^{ij}{\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\vec {b}}_{j})={\\big (}(\\nabla T^{ij})\\cdot {\\vec {b}}_{i}{\\big )}{\\vec {b}}_{j}+T^{ij}\\,{\\big (}(\\nabla \\cdot {\\vec {b}}_{i}){\\vec {b}}_{j}+(\\nabla {\\vec {b}}_{j})\\cdot {\\vec {b}}_{i}{\\big )}}

Produkt mit Konstanten:

d i v ( f C ) = C ⋅ ⋅ g r a d ( f ) → → d i v ( f 1 ) = g r a d ( f ) {\\displaystyle \\mathrm {div} (f\\mathbf {C} )=\\mathbf {C} \\cdot \\mathrm {grad} (f)\\quad \\rightarrow \\quad \\mathrm {div} (f\\mathbf {1} )=\\mathrm {grad} (f)}

∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f C ) = g r a d ( f ) ⋅ ⋅ C → → ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f 1 ) = ∇ ∇ f {\\displaystyle \\nabla \\cdot (f\\mathbf {C} )=\\mathrm {grad} (f)\\cdot \\mathbf {C} \\quad \\rightarrow \\quad \\nabla \\cdot (f\\mathbf {1} )=\\nabla f}

d i v ( C ⋅ ⋅ f → → ) = C ⊤ ⊤ : g r a d ( f → → ) → → d i v ( f → → ) = d i v ( 1 ⋅ ⋅ f → → ) = 1 : g r a d ( f → → ) = S p ( g r a d ( f → → ) ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {div} (\\mathbf {C} \\cdot {\\vec {f}})=\\mathbf {C} ^{\\top }:\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\quad \\rightarrow \\quad \\mathrm {div} ({\\vec {f}})=&\\mathrm {div} (\\mathbf {1} \\cdot {\\vec {f}})=\\mathbf {1} :\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\\\=&\\mathrm {Sp} (\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}))\\end{aligned}}}

>>>Rotation

Siehe auch

:

Rotation eines Vektorfeldes

>>>>Definition der Rotation/Allgemeines

Vektorfeld f → → {\\displaystyle {\\vec {f}}} :

r o t ( f → → ) = ∇ ∇ × × f → → {\\displaystyle \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})=\\nabla \\times {\\vec {f}}}

Klassische Definition für ein Tensorfeld `!T`!:`:cite-ref-hbphys-1-2[`F5bf`_`[1`#cite-note-hbphys-1]`_`f]

r o t ( T ) ⋅ ⋅ c → → = r o t ( T ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ c → → ) ∀ ∀ c → → ∈ ∈ V {\\displaystyle \\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )\\cdot {\\vec {c}}=\\mathrm {rot} \\left(\\mathbf {T} ^{\\top }\\cdot {\\vec {c}}\\right)\\quad \\forall {\\vec {c}}\\in \\mathbb {V} }

→ r o t ( T ) = ∇ ∇ × × ( T ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )=\\nabla \\times \\left(\\mathbf {T} ^{\\top }\\right)}

Allgemeine Identitäten:

T = T ⊤ ⊤ → → S p ( r o t ( T ) ) = S p ( ∇ ∇ × × T ) = 0 {\\displaystyle \\mathbf {T=T} ^{\\top }\\quad \\rightarrow \\quad \\mathrm {Sp{\\big (}rot} (\\mathbf {T} ){\\big )}=\\mathrm {Sp} (\\nabla \\times \\mathbf {T} )=0}

r o t ( x → → ) = 0 → → {\\displaystyle \\mathrm {rot} ({\\vec {x}})={\\vec {0}}}

Integrabilitätsbedingung`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

d i v ( f → → ) = 0 → → ∃ ∃ g → → : : f → → = r o t ( g → → ) {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {f}})=0\\quad \\rightarrow \\quad \\exists {\\vec {g}}\\colon {\\vec {f}}=\\mathrm {rot} ({\\vec {g}})} .

Siehe auch `F33f`_`[#Satz über rotationsfreie Felder`#satz-ber-rotationsfreie-felder]`_`f.

Koordinatenfreie Darstellung:

• Volumen v {\\displaystyle v} mit

• Oberfläche a {\\displaystyle a} mit `F33f`_`[äußerem vektoriellem Oberflächenelement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Oberflächenintegral]`_`f d a → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {a}}}

r o t ( f → → ) = − − lim v → → 0 ( 1 v ∫ ∫ a f → → × × d a → → ) {\\displaystyle \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})=-\\lim _{v\\rightarrow 0}\\left({\\frac {1}{v}}\\int _{a}{\\vec {f}}\\times \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\right)}

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

r o t ( f c → → ) = g r a d ( f ) × × c → → r o t ( f → → ) = − − i → → ( g r a d ( f → → ) ) = i → → ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) = ∇ ∇ × × f → → {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {rot} (f{\\vec {c}})=&\\mathrm {grad} (f)\\times {\\vec {c}}\\\\\\mathrm {rot} ({\\vec {f}})=&-{\\vec {\\mathrm {i} }}{\\big (}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}){\\big )}={\\vec {\\mathrm {i} }}(\\nabla \\otimes {\\vec {f}})=\\nabla \\times {\\vec {f}}\\end{aligned}}}

>>>>Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen

`F33f`_`[#Kartesische Koordinaten`#kartesische-koordinaten]`_`f:

r o t ( f → → ) = e ^ ^ i × × f → → , i = f j , i e ^ ^ i × × e ^ ^ j = ϵ ϵ i j k f j , i e ^ ^ k = ( f 3 , 2 − − f 2 , 3 ) e ^ ^ 1 + ( f 1 , 3 − − f 3 , 1 ) e ^ ^ 2 + ( f 2 , 1 − − f 1 , 2 ) e ^ ^ 3 {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {rot} ({\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{i}\\times {\\vec {f}}_{,i}=f_{j,i}{\\hat {e}}_{i}\\times {\\hat {e}}_{j}=\\epsilon _{ijk}f_{j,i}{\\hat {e}}_{k}\\\\=&(f_{3,2}-f_{2,3}){\\hat {e}}_{1}+(f_{1,3}-f_{3,1}){\\hat {e}}_{2}+(f_{2,1}-f_{1,2}){\\hat {e}}_{3}\\end{aligned}}}

r o t ( T ) = e ^ ^ i × × T , i ⊤ ⊤ = e ^ ^ i × × T l j , i e ^ ^ j ⊗ ⊗ e ^ ^ l = ϵ ϵ i j k T l j , i e ^ ^ k ⊗ ⊗ e ^ ^ l {\\displaystyle \\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )={\\hat {e}}_{i}\\times \\mathbf {T} _{,i}^{\\top }={\\hat {e}}_{i}\\times T_{lj,i}{\\hat {e}}_{j}\\otimes {\\hat {e}}_{l}=\\epsilon _{ijk}T_{lj,i}{\\hat {e}}_{k}\\otimes {\\hat {e}}_{l}}

`F33f`_`[#Zylinderkoordinaten`#zylinderkoordinaten]`_`f:

r o t ( f → → ) = f z , φ φ − − ρ ρ f φ φ , z ρ ρ e ^ ^ ρ ρ + ( f ρ ρ , z − − f z , ρ ρ ) e ^ ^ φ φ + f φ φ + ρ ρ f φ φ , ρ ρ − − f ρ ρ , φ φ ρ ρ e ^ ^ z {\\displaystyle \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})={\\frac {f_{z,\\varphi }-\\rho f_{\\varphi ,z}}{\\rho }}{\\hat {e}}_{\\rho }+(f_{\\rho ,z}-f_{z,\\rho }){\\hat {e}}_{\\varphi }+{\\frac {f_{\\varphi }+\\rho f_{\\varphi ,\\rho }-f_{\\rho ,\\varphi }}{\\rho }}{\\hat {e}}_{z}}

r o t ( T ) = e ^ ^ ρ ρ × × ( T , ρ ρ ⊤ ⊤ ) + 1 ρ ρ e ^ ^ φ φ × × ( T , φ φ ⊤ ⊤ ) + e ^ ^ z × × ( T , z ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )={\\hat {e}}_{\\rho }\\times (\\mathbf {T} _{,\\rho }^{\\top })+{\\frac {1}{\\rho }}{\\hat {e}}_{\\varphi }\\times (\\mathbf {T} _{,\\varphi }^{\\top })+{\\hat {e}}_{z}\\times (\\mathbf {T} _{,z}^{\\top })}

∇ ∇ × × T = e ^ ^ ρ ρ × × T , ρ ρ + 1 ρ ρ e ^ ^ φ φ × × T , φ φ + e ^ ^ z × × T , z {\\displaystyle \\nabla \\times \\mathbf {T} ={\\hat {e}}_{\\rho }\\times \\mathbf {T} _{,\\rho }+{\\frac {1}{\\rho }}{\\hat {e}}_{\\varphi }\\times \\mathbf {T} _{,\\varphi }+{\\hat {e}}_{z}\\times \\mathbf {T} _{,z}}

`F33f`_`[#Kugelkoordinaten`#kugelkoordinaten]`_`f:

r o t ( f → → ) = f φ φ , ϑ ϑ sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) + f φ φ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) − − f ϑ ϑ , φ φ r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) e ^ ^ r + ( f r , φ φ r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) − − f φ φ + r f φ φ , r r ) e ^ ^ ϑ ϑ + f ϑ ϑ + r f ϑ ϑ , r − − f r , ϑ ϑ r e ^ ^ φ φ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {rot} ({\\vec {f}})=&{\\frac {f_{\\varphi ,\\vartheta }\\sin(\\vartheta )+f_{\\varphi }\\cos(\\vartheta )-f_{\\vartheta ,\\varphi }}{r\\sin(\\vartheta )}}{\\hat {e}}_{r}+\\left({\\frac {f_{r,\\varphi }}{r\\sin(\\vartheta )}}-{\\frac {f_{\\varphi }+rf_{\\varphi ,r}}{r}}\\right){\\hat {e}}_{\\vartheta }\\\\&+{\\frac {f_{\\vartheta }+rf_{\\vartheta ,r}-f_{r,\\vartheta }}{r}}{\\hat {e}}_{\\varphi }\\end{aligned}}}

r o t ( T ) = e ^ ^ r × × ( T , r ⊤ ⊤ ) + 1 r e ^ ^ ϑ ϑ × × ( T , ϑ ϑ ⊤ ⊤ ) + 1 r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) e ^ ^ φ φ × × ( T , φ φ ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )={\\hat {e}}_{r}\\times (\\mathbf {T} _{,r}^{\\top })+{\\frac {1}{r}}{\\hat {e}}_{\\vartheta }\\times (\\mathbf {T} _{,\\vartheta }^{\\top })+{\\frac {1}{r\\sin(\\vartheta )}}{\\hat {e}}_{\\varphi }\\times (\\mathbf {T} _{,\\varphi }^{\\top })}

∇ ∇ × × T = e ^ ^ r × × T , r + 1 r e ^ ^ ϑ ϑ × × T , ϑ ϑ + 1 r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) e ^ ^ φ φ × × T , φ φ {\\displaystyle \\nabla \\times \\mathbf {T} ={\\hat {e}}_{r}\\times \\mathbf {T} _{,r}+{\\frac {1}{r}}{\\hat {e}}_{\\vartheta }\\times \\mathbf {T} _{,\\vartheta }+{\\frac {1}{r\\sin(\\vartheta )}}{\\hat {e}}_{\\varphi }\\times \\mathbf {T} _{,\\varphi }}

>>>>Produktregel für Rotationen

r o t ( f g → → ) = e ^ ^ i × × ( f , i g → → + f g → → , i ) = g r a d ( f ) × × g → → + f r o t ( g → → ) r o t ( f → → × × g → → ) = e ^ ^ i × × ( f → → , i × × g → → + f → → × × g → → , i ) = ( e ^ ^ i ⋅ ⋅ g → → ) f → → , i − − ( e ^ ^ i ⋅ ⋅ f → → , i ) g → → + ( e ^ ^ i ⋅ ⋅ g → → , i ) f → → − − ( e ^ ^ i ⋅ ⋅ f → → ) g → → , i = g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ g → → − − d i v ( f → → ) g → → + d i v ( g → → ) f → → − − g r a d ( g → → ) ⋅ ⋅ f → → = d i v ( f → → ⊗ ⊗ g → → ) − − d i v ( g → → ⊗ ⊗ f → → ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( g → → ⊗ ⊗ f → → ) − − ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( f → → ⊗ ⊗ g → → ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {rot} (f{\\vec {g}})=&{\\hat {e}}_{i}\\times (f_{,i}{\\vec {g}}+f{\\vec {g}}_{,i})=\\mathrm {grad} (f)\\times {\\vec {g}}+f\\mathrm {rot} ({\\vec {g}})\\\\\\mathrm {rot} ({\\vec {f}}\\times {\\vec {g}})=&{\\hat {e}}_{i}\\times \\left({\\vec {f}}_{,i}\\times {\\vec {g}}+{\\vec {f}}\\times {\\vec {g}}_{,i}\\right)\\\\=&({\\hat {e}}_{i}\\cdot {\\vec {g}}){\\vec {f}}_{,i}-\\left({\\hat {e}}_{i}\\cdot {\\vec {f}}_{,i}\\right){\\vec {g}}+\\left({\\hat {e}}_{i}\\cdot {\\vec {g}}_{,i}\\right){\\vec {f}}-({\\hat {e}}_{i}\\cdot {\\vec {f}}){\\vec {g}}_{,i}\\\\=&\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot {\\vec {g}}-\\mathrm {div} ({\\vec {f}}){\\vec {g}}+\\mathrm {div} ({\\vec {g}}){\\vec {f}}-\\mathrm {grad} ({\\vec {g}})\\cdot {\\vec {f}}\\\\=&\\mathrm {div} ({\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}})-\\mathrm {div} ({\\vec {g}}\\otimes {\\vec {f}})=\\nabla \\cdot ({\\vec {g}}\\otimes {\\vec {f}})-\\nabla \\cdot ({\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}})\\end{aligned}}}

r o t ( f → → ⊗ ⊗ g → → ) = e ^ ^ i × × ( g → → , i ⊗ ⊗ f → → + g → → ⊗ ⊗ f → → , i ) = r o t ( g → → ) ⊗ ⊗ f → → − − g → → × × g r a d ( f → → ) ⊤ ⊤ r o t ( f T ) = e ^ ^ k × × ( f , k T ⊤ ⊤ + f T , k ⊤ ⊤ ) = g r a d ( f ) × × ( T ⊤ ⊤ ) + f r o t ( T ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {rot} ({\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}})=&{\\hat {e}}_{i}\\times \\left({\\vec {g}}_{,i}\\otimes {\\vec {f}}+{\\vec {g}}\\otimes {\\vec {f}}_{,i}\\right)\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&\\mathrm {rot} ({\\vec {g}})\\otimes {\\vec {f}}-{\\vec {g}}\\times \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})^{\\top }\\\\\\mathrm {rot} (f\\mathbf {T} )=&{\\hat {e}}_{k}\\times (f_{,k}\\mathbf {T} ^{\\top }+f\\mathbf {T} _{,k}^{\\top })\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&\\mathrm {grad} (f)\\times (\\mathbf {T} ^{\\top })+f\\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )\\end{aligned}}}

r o t ( T ⋅ ⋅ f → → ) = e ^ ^ k × × ( T , k ⋅ ⋅ f → → + T ⋅ ⋅ f → → , k ) = r o t ( T ⊤ ⊤ ) ⋅ ⋅ f → → + i → → ( e ^ ^ k ⊗ ⊗ T ⋅ ⋅ f → → , k ) = r o t ( T ⊤ ⊤ ) ⋅ ⋅ f → → − − i → → ( T ⋅ ⋅ g r a d ( f → → ) ) r o t ( f → → × × T ) = − − r o t ( ( T ⊤ ⊤ × × f → → ) ⊤ ⊤ ) = − − ∇ ∇ × × ( T ⊤ ⊤ × × f → → ) = − − ( ∇ ∇ × × T ⊤ ⊤ ) × × f → → + T ⊤ ⊤ # # ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) = − − r o t ( T ) × × f → → + ( T # # g r a d ( f → → ) ) ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {rot} (\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{k}\\times {\\big (}\\mathbf {T} _{,k}\\cdot {\\vec {f}}+\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}}_{,k}{\\big )}\\\\=&\\mathrm {rot} (\\mathbf {T} ^{\\top })\\cdot {\\vec {f}}+{\\vec {\\mathrm {i} }}\\left({\\hat {e}}_{k}\\otimes \\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}}_{,k}\\right)\\\\=&\\mathrm {rot} (\\mathbf {T} ^{\\top })\\cdot {\\vec {f}}-{\\vec {\\mathrm {i} }}\\left(\\mathbf {T} \\cdot \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\right)\\\\\\mathrm {rot} ({\\vec {f}}\\times \\mathbf {T} )=&-\\mathrm {rot} \\left((\\mathbf {T} ^{\\top }\\times {\\vec {f}})^{\\top }\\right)\\\\=&-\\nabla \\times \\left(\\mathbf {T} ^{\\top }\\times {\\vec {f}}\\right)\\\\=&-(\\nabla \\times \\mathbf {T} ^{\\top })\\times {\\vec {f}}+\\mathbf {T} ^{\\top }\\#(\\nabla \\otimes {\\vec {f}})\\\\=&-\\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )\\times {\\vec {f}}+\\left(\\mathbf {T} \\#\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\right)^{\\top }\\end{aligned}}}

∇ ∇ × × ( f → → ⊗ ⊗ g → → ) = e ^ ^ i × × ( f → → , i ⊗ ⊗ g → → + f → → ⊗ ⊗ g → → , i ) = ( ∇ ∇ × × f → → ) ⊗ ⊗ g → → − − f → → × × ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ ( g → → ) ∇ ∇ × × ( f T ) = e ^ ^ k × × ( f , k T + f T , k ) = ( ∇ ∇ f ) × × T + f ∇ ∇ × × T {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\nabla \\times ({\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}})=&{\\hat {e}}_{i}\\times \\left({\\vec {f}}_{,i}\\otimes {\\vec {g}}+{\\vec {f}}\\otimes {\\vec {g}}_{,i}\\right)\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&(\\nabla \\times {\\vec {f}})\\otimes {\\vec {g}}-{\\vec {f}}\\times (\\nabla \\otimes ({\\vec {g}})\\\\\\nabla \\times (f\\mathbf {T} )=&{\\hat {e}}_{k}\\times (f_{,k}\\mathbf {T} +f\\mathbf {T} _{,k})\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&(\\nabla f)\\times \\mathbf {T} +f\\nabla \\times \\mathbf {T} \\end{aligned}}}

∇ ∇ × × ( T ⋅ ⋅ f → → ) = e ^ ^ k × × ( T , k ⋅ ⋅ f → → + T ⋅ ⋅ f → → , k ) = ( ∇ ∇ × × T ) ⋅ ⋅ f → → + i → → ( e ^ ^ k ⊗ ⊗ T ⋅ ⋅ f → → , k ) = ( ∇ ∇ × × T ) ⋅ ⋅ f → → − − i → → ( T ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) ⊤ ⊤ ) ∇ ∇ × × ( T × × f → → ) = e ^ ^ k × × ( T , k × × f → → + ( T ⋅ ⋅ e ^ ^ i ) ⊗ ⊗ e ^ ^ i × × f → → , k ) = ( ∇ ∇ × × T ) × × f → → − − ( T ⋅ ⋅ e ^ ^ i ) × × e ^ ^ k ⊗ ⊗ e ^ ^ i × × f → → , k = ( ∇ ∇ × × T ) × × f → → − − T # # ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\nabla \\times (\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{k}\\times (\\mathbf {T} _{,k}\\cdot {\\vec {f}}+\\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}}_{,k})\\\\=&(\\nabla \\times \\mathbf {T} )\\cdot {\\vec {f}}+{\\vec {\\mathrm {i} }}\\left({\\hat {e}}_{k}\\otimes \\mathbf {T} \\cdot {\\vec {f}}_{,k}\\right)\\\\=&(\\nabla \\times \\mathbf {T} )\\cdot {\\vec {f}}-{\\vec {\\mathrm {i} }}{\\big (}\\mathbf {T} \\cdot (\\nabla \\otimes {\\vec {f}})^{\\top }{\\big )}\\\\\\nabla \\times (\\mathbf {T} \\times {\\vec {f}})=&{\\hat {e}}_{k}\\times (\\mathbf {T} _{,k}\\times {\\vec {f}}+(\\mathbf {T} \\cdot {\\hat {e}}_{i})\\otimes {\\hat {e}}_{i}\\times {\\vec {f}}_{,k})\\\\=&(\\nabla \\times \\mathbf {T} )\\times {\\vec {f}}-(\\mathbf {T} \\cdot {\\hat {e}}_{i})\\times {\\hat {e}}_{k}\\otimes {\\hat {e}}_{i}\\times {\\vec {f}}_{,k}\\\\=&(\\nabla \\times \\mathbf {T} )\\times {\\vec {f}}-\\mathbf {T} \\#(\\nabla \\otimes {\\vec {f}})\\end{aligned}}}

Beliebige Basis:

r o t ( f i b → → i ) = g r a d ( f i ) × × b → → i + f i r o t ( b → → i ) {\\displaystyle \\mathrm {rot} (f^{i}{\\vec {b}}_{i})=\\mathrm {grad} (f^{i})\\times {\\vec {b}}_{i}+f^{i}\\,\\mathrm {rot} ({\\vec {b}}_{i})}

Produkt mit Konstanten:

r o t ( C ⋅ ⋅ f → → ) = − − i → → ( C ⋅ ⋅ g r a d ( f → → ) ) → → r o t ( f → → ) = r o t ( 1 ⋅ ⋅ f → → ) = − − i → → ( g r a d ( f → → ) ) r o t ( f → → × × 1 ) = 1 # # g r a d ( f → → ) ⊤ ⊤ = g r a d ( f → → ) − − d i v ( f → → ) 1 {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}\\mathrm {rot} (\\mathbf {C} \\cdot {\\vec {f}})&=&-{\\vec {\\mathrm {i} }}\\left(\\mathbf {C} \\cdot \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\right)\\\\&&\\rightarrow \\quad \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})=\\mathrm {rot} (\\mathbf {1} \\cdot {\\vec {f}})=-{\\vec {\\mathrm {i} }}\\left(\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\right)\\\\\\mathrm {rot} ({\\vec {f}}\\times \\mathbf {1} )&=&\\mathbf {1} \\#\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})^{\\top }=\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})-\\mathrm {div} ({\\vec {f}})\\mathbf {1} \\end{array}}}

In divergenzfreien Feldern ist also: r o t ( f → → × × 1 ) = g r a d ( f → → ) {\\displaystyle \\mathrm {rot} ({\\vec {f}}\\times \\mathbf {1} )=\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})}

>>>Laplace-Operator

Siehe auch

:

Laplace-Operator

>>>>Definition/Allgemeines

Δ Δ := ∇ ∇ ⋅ ⋅ ∇ ∇ = ∇ ∇ 2 {\\displaystyle \\Delta :=\\nabla \\cdot \\nabla =\\nabla ^{2}}

Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:

Δ Δ f = d i v ( g r a d ( f ) ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ f ) Δ Δ f → → = d i v ( g r a d ( f → → ) ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}\\Delta f&=&\\mathrm {div{\\big (}grad} (f){\\big )}&=&\\nabla \\cdot (\\nabla f)\\\\\\Delta {\\vec {f}}&=&\\mathrm {div{\\big (}grad} ({\\vec {f}}){\\big )}&=&\\nabla \\cdot (\\nabla \\otimes {\\vec {f}})\\end{array}}}

„Vektorieller Laplace-Operator“:

Δ Δ f → → = g r a d ( d i v ( f → → ) ) − − r o t ( r o t ( f → → ) ) {\\displaystyle \\Delta {\\vec {f}}=\\mathrm {grad{\\big (}div} ({\\vec {f}}){\\big )}-\\mathrm {rot{\\big (}rot} ({\\vec {f}}){\\big )}}

>>>>Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

`F33f`_`[#Kartesische Koordinaten`#kartesische-koordinaten]`_`f:

Δ Δ f = f , k k Δ Δ f → → = Δ Δ f i e ^ ^ i = f i , k k e ^ ^ i Δ Δ T = Δ Δ T i j e ^ ^ i ⊗ ⊗ e ^ ^ j = T i j , k k e ^ ^ i ⊗ ⊗ e ^ ^ j {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\Delta f=&f_{,kk}\\\\\\Delta {\\vec {f}}=&\\Delta f_{i}{\\hat {e}}_{i}=f_{i,kk}{\\hat {e}}_{i}\\\\\\Delta \\mathbf {T} =&\\Delta T_{ij}{\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\hat {e}}_{j}=T_{ij,kk}{\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\hat {e}}_{j}\\end{aligned}}}

`F33f`_`[#Zylinderkoordinaten`#zylinderkoordinaten]`_`f:

Δ Δ f = f , ρ ρ ρ ρ + f , ρ ρ ρ ρ + f , φ φ φ φ ρ ρ 2 + f , z z Δ Δ f → → = ( Δ Δ f ρ ρ − − 2 f φ φ , φ φ + f ρ ρ ρ ρ 2 ) e ^ ^ ρ ρ + ( Δ Δ f φ φ + 2 f ρ ρ , φ φ − − f φ φ ρ ρ 2 ) e ^ ^ φ φ + Δ Δ f z e ^ ^ z {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\Delta f=&{\\frac {f_{,\\rho }}{\\rho }}+f_{,\\rho \\rho }+{\\frac {f_{,\\varphi \\varphi }}{\\rho ^{2}}}+f_{,zz}\\\\\\Delta {\\vec {f}}=&\\left(\\Delta f_{\\rho }-{\\frac {2f_{\\varphi ,\\varphi }+f_{\\rho }}{\\rho ^{2}}}\\right){\\hat {e}}_{\\rho }+\\left(\\Delta f_{\\varphi }+{\\frac {2f_{\\rho ,\\varphi }-f_{\\varphi }}{\\rho ^{2}}}\\right){\\hat {e}}_{\\varphi }+\\Delta f_{z}{\\hat {e}}_{z}\\end{aligned}}}

`F33f`_`[#Kugelkoordinaten`#kugelkoordinaten]`_`f:

Δ Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ f ∂ ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ∂ ∂ ∂ ∂ ϑ ϑ ( sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ∂ ∂ f ∂ ∂ ϑ ϑ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ∂ ∂ 2 f ∂ ∂ φ φ 2 = 2 f , r r + f , r r + f , ϑ ϑ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) + f , ϑ ϑ ϑ ϑ sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) r 2 sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) + f , φ φ φ φ r 2 sin 2 ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) Δ Δ f → → = ( Δ Δ f r − − 2 r 2 ( f r + f ϑ ϑ , ϑ ϑ ) − − 2 f φ φ , φ φ + f ϑ ϑ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) r 2 sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) e ^ ^ r + ( Δ Δ f ϑ ϑ + 2 f r , ϑ ϑ r 2 − − f ϑ ϑ + 2 f φ φ , φ φ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) r 2 sin 2 ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) e ^ ^ ϑ ϑ + ( Δ Δ f φ φ − − f φ φ − − 2 f ϑ ϑ , φ φ cos ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) − − 2 f r , φ φ sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) r 2 sin 2 ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ) e ^ ^ φ φ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\Delta f=&{\\frac {1}{r^{2}}}{\\frac {\\partial }{\\partial r}}\\left(r^{2}{\\frac {\\partial f}{\\partial r}}\\right)+{\\frac {1}{r^{2}\\sin(\\vartheta )}}{\\frac {\\partial }{\\partial \\vartheta }}\\left(\\sin(\\vartheta )\\,{\\frac {\\partial f}{\\partial \\vartheta }}\\right)+{\\frac {1}{r^{2}\\sin ^{2}(\\vartheta )}}{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial \\varphi ^{2}}}\\\\=&{\\frac {2f_{,r}}{r}}+f_{,rr}+{\\frac {f_{,\\vartheta }\\cos(\\vartheta )+f_{,\\vartheta \\vartheta }\\sin(\\vartheta )}{r^{2}\\sin(\\vartheta )}}+{\\frac {f_{,\\varphi \\varphi }}{r^{2}\\sin ^{2}(\\vartheta )}}\\\\\\Delta {\\vec {f}}=&\\left(\\Delta f_{r}-{\\frac {2}{r^{2}}}(f_{r}+f_{\\vartheta ,\\vartheta })-2{\\frac {f_{\\varphi ,\\varphi }+f_{\\vartheta }\\cos(\\vartheta )}{r^{2}\\sin(\\vartheta )}}\\right){\\hat {e}}_{r}\\\\&+\\left(\\Delta f_{\\vartheta }+{\\frac {2f_{r,\\vartheta }}{r^{2}}}-{\\frac {f_{\\vartheta }+2f_{\\varphi ,\\varphi }\\cos(\\vartheta )}{r^{2}\\sin ^{2}(\\vartheta )}}\\right){\\hat {e}}_{\\vartheta }\\\\&+\\left(\\Delta f_{\\varphi }-{\\frac {f_{\\varphi }-2f_{\\vartheta ,\\varphi }\\cos(\\vartheta )-2f_{r,\\varphi }\\sin(\\vartheta )}{r^{2}\\sin ^{2}(\\vartheta )}}\\right){\\hat {e}}_{\\varphi }\\end{aligned}}}

>>>Verknüpfungen

Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.

d i v ( r o t ( f → → ) ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ × × f → → ) = 0 r o t ( g r a d ( f ) ) = ∇ ∇ × × ∇ ∇ f = 0 → → d i v ( g r a d ( f ) × × g r a d ( g ) ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ f × × ∇ ∇ g ) = ∇ ∇ g ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ × × ∇ ∇ f ) = 0 r o t ( g r a d ( f → → ) ) = ∇ ∇ × × ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) = 0 d i v ( r o t ( T ) ⊤ ⊤ ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ × × T ) = 0 → → {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}\\mathrm {div(rot} ({\\vec {f}}))&=&\\nabla \\cdot (\\nabla \\times {\\vec {f}})&=&0\\\\\\mathrm {rot(grad} (f))&=&\\nabla \\times \\nabla f&=&{\\vec {0}}\\\\\\mathrm {div(grad} (f)\\times \\mathrm {grad} (g))&=&\\nabla \\cdot (\\nabla f\\times \\nabla g)=\\nabla g\\cdot (\\nabla \\times \\nabla f)&=&0\\\\\\mathrm {rot{\\big (}grad} ({\\vec {f}}){\\big )}&=&\\nabla \\times (\\nabla \\otimes {\\vec {f}})&=&\\mathbf {0} \\\\\\mathrm {div{\\big (}rot} (\\mathbf {T} )^{\\top }{\\big )}&=&\\nabla \\cdot (\\nabla \\times \\mathbf {T} )&=&{\\vec {0}}\\end{array}}}

d i v ( g r a d ( f ) ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ f ) = ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ ∇ ∇ ) f = Δ Δ f d i v ( g r a d ( f → → ) ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) = ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ ∇ ∇ ) f → → = Δ Δ f → → {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}\\mathrm {div{\\big (}grad} (f){\\big )}&=&\\nabla \\cdot (\\nabla f)=(\\nabla \\cdot \\nabla )f&=&\\Delta f\\\\\\mathrm {div{\\big (}grad} ({\\vec {f}}){\\big )}&=&\\nabla \\cdot (\\nabla \\otimes {\\vec {f}})=(\\nabla \\cdot \\nabla ){\\vec {f}}&=&\\Delta {\\vec {f}}\\end{array}}}

d i v ( g r a d ( f → → ) ⊤ ⊤ ) = ∇ ∇ ⋅ ⋅ ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ⊤ ⊤ ) = f i , i j e ^ ^ j = g r a d ( d i v ( f → → ) ) r o t ( g r a d ( f → → ) ⊤ ⊤ ) = ∇ ∇ × × ( ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → ) ⊤ ⊤ ) = ∇ ∇ × × ( f → → , i ⊗ ⊗ e ^ ^ i ) = g r a d ( r o t ( f → → ) ) {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}\\mathrm {div{\\big (}grad} ({\\vec {f}})^{\\top }{\\big )}&=&\\nabla \\cdot (\\nabla \\otimes {\\vec {f}}^{\\top })=f_{i,ij}{\\hat {e}}_{j}&=&\\mathrm {grad{\\big (}div} ({\\vec {f}}){\\big )}\\\\\\mathrm {rot{\\big (}grad} ({\\vec {f}})^{\\top }{\\big )}&=&\\nabla \\times {\\big (}(\\nabla \\otimes {\\vec {f}})^{\\top }{\\big )}=\\nabla \\times {\\big (}{\\vec {f}}_{,i}\\otimes {\\hat {e}}_{i}{\\big )}&=&\\mathrm {grad{\\big (}rot} ({\\vec {f}}){\\big )}\\end{array}}}

r o t ( r o t ( f → → ) ) = ∇ ∇ × × ( ∇ ∇ × × f → → ) = ∇ ∇ ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ f → → ) − − Δ Δ f → → = g r a d ( d i v ( f → → ) ) − − Δ Δ f → → r o t ( r o t ( T ) ⊤ ⊤ ) ⊤ ⊤ = ( ∇ ∇ × × ( ∇ ∇ × × ( T ⊤ ⊤ ) ) ) ⊤ ⊤ = ( ∇ ∇ ⊗ ⊗ ∇ ∇ ⋅ ⋅ T ⊤ ⊤ ) ⊤ ⊤ − − ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ ∇ ∇ ) T = g r a d ( d i v ( T ) ) − − Δ Δ T {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}\\mathrm {rot{\\big (}rot} ({\\vec {f}}){\\big )}&=&\\nabla \\times (\\nabla \\times {\\vec {f}})=\\nabla (\\nabla \\cdot {\\vec {f}})-\\Delta {\\vec {f}}&=&\\mathrm {grad(div} ({\\vec {f}}))-\\Delta {\\vec {f}}\\\\\\mathrm {rot{\\big (}rot} (\\mathbf {T} )^{\\top }{\\big )}^{\\top }&=&{\\big (}\\nabla \\times (\\nabla \\times (\\mathbf {T} ^{\\top })){\\big )}^{\\top }\\\\&=&{\\big (}\\nabla \\otimes \\nabla \\cdot \\mathbf {T} ^{\\top }{\\big )}^{\\top }-(\\nabla \\cdot \\nabla )\\mathbf {T} &=&\\mathrm {grad(div} (\\mathbf {T} ))-\\Delta \\mathbf {T} \\end{array}}}

r o t ( r o t ( T ⊤ ⊤ ) ) = − − Δ Δ T − − g r a d ( g r a d ( S p ( T ) ) ) + g r a d ( d i v ( T ) ) + g r a d ( d i v ( T ⊤ ⊤ ) ) ⊤ ⊤ + [ Δ Δ S p ( T ) − − d i v ( d i v ( T ) ) ] 1 {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}\\mathrm {rot{\\big (}rot} (\\mathbf {T} ^{\\top }){\\big )}&=&-\\Delta \\mathbf {T} -\\mathrm {grad{\\big (}grad(Sp} (\\mathbf {T} )){\\big )}+\\mathrm {grad{\\big (}div} (\\mathbf {T} ){\\big )}+\\mathrm {grad{\\big (}div} (\\mathbf {T} ^{\\top }){\\big )}^{\\top }\\\\&&+\\left[\\Delta \\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )-\\mathrm {div{\\big (}div} (\\mathbf {T} ){\\big )}\\right]\\mathbf {1} \\end{array}}}

Bei symmetrischem `!T`! = `!T`!⊤ gilt:

r o t ( r o t ( T ) ) = − − Δ Δ T − − g r a d ( g r a d ( S p ( T ) ) ) + g r a d ( d i v ( T ) ) + g r a d ( d i v ( T ) ) ⊤ ⊤ + [ Δ Δ S p ( T ) − − d i v ( d i v ( T ) ) ] 1 {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}\\mathrm {rot{\\big (}rot} (\\mathbf {T} ){\\big )}&=&-\\Delta \\mathbf {T} -\\mathrm {grad{\\big (}grad(Sp} (\\mathbf {T} )){\\big )}+\\mathrm {grad{\\big (}div} (\\mathbf {T} ){\\big )}+\\mathrm {grad{\\big (}div} (\\mathbf {T} ){\\big )}^{\\top }\\\\&&+\\left[\\Delta \\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )-\\mathrm {div{\\big (}div} (\\mathbf {T} ){\\big )}\\right]\\mathbf {1} \\end{array}}}

Wenn zusätzlich T = T ⊤ ⊤ = G − − S p ( G ) 1 {\\displaystyle \\mathbf {T} =\\mathbf {T} ^{\\top }=\\mathbf {G} -\\mathrm {Sp} (\\mathbf {G} )\\mathbf {1} } dann ist:

r o t ( r o t ( T ) ) = − − Δ Δ G + g r a d ( d i v ( G ) ) + g r a d ( d i v ( G ) ) ⊤ ⊤ − − d i v ( d i v ( G ) ) 1 {\\displaystyle \\mathrm {rot{\\big (}rot} (\\mathbf {T} ){\\big )}=-\\Delta \\mathbf {G} +\\mathrm {grad{\\big (}div} (\\mathbf {G} ){\\big )}+\\mathrm {grad{\\big (}div} (\\mathbf {G} ){\\big )}^{\\top }-\\mathrm {div{\\big (}div} (\\mathbf {G} ){\\big )}\\mathbf {1} }

Der `F33f`_`[Laplace-Operator`#laplace-operator]`_`f kann zwischen den anderen Operatoren wie ein Skalar behandelt werden, also an beliebiger Stelle in die Formeln eingesetzt werden, z. B.:

Δ Δ r o t ( r o t ( f → → ) ) = r o t ( Δ Δ r o t ( f → → ) ) = r o t ( r o t ( Δ Δ f → → ) ) = … … … … = Δ Δ g r a d ( d i v ( f → → ) ) − − Δ Δ Δ Δ f → → = g r a d ( Δ Δ d i v ( f → → ) ) − − Δ Δ Δ Δ f → → = g r a d ( d i v ( Δ Δ f → → ) ) − − Δ Δ Δ Δ f → → {\\displaystyle {\\begin{array}{l}\\Delta \\mathrm {rot(rot} ({\\vec {f}}))=\\mathrm {rot(\\Delta rot} ({\\vec {f}}))=\\mathrm {rot(rot} (\\Delta {\\vec {f}}))=\\ldots \\\\\\ldots =\\Delta \\mathrm {grad(div} ({\\vec {f}}))-\\Delta \\Delta {\\vec {f}}=\\mathrm {grad} (\\Delta \\mathrm {div} ({\\vec {f}}))-\\Delta \\Delta {\\vec {f}}=\\mathrm {grad(div} (\\Delta {\\vec {f}}))-\\Delta \\Delta {\\vec {f}}\\end{array}}}

>>>Grassmann-Entwicklung

f → → × × r o t ( f → → ) = 1 2 g r a d ( f → → ⋅ ⋅ f → → ) − − g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ f → → = ( g r a d ( f → → ) ⊤ ⊤ − − g r a d ( f → → ) ) ⋅ ⋅ f → → = i → → ( g r a d ( f → → ) ) × × f → → {\\displaystyle {\\begin{aligned}{\\vec {f}}\\times \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})=&{\\frac {1}{2}}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}\\cdot {\\vec {f}})-\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot {\\vec {f}}\\\\=&{\\big (}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})^{\\top }-\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}){\\big )}\\cdot {\\vec {f}}={\\vec {\\mathrm {i} }}{\\big (}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}){\\big )}\\times {\\vec {f}}\\end{aligned}}}

g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ f → → = 1 2 g r a d ( f → → ⋅ ⋅ f → → ) − − f → → × × r o t ( f → → ) {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot {\\vec {f}}={\\frac {1}{2}}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}}\\cdot {\\vec {f}})-{\\vec {f}}\\times \\mathrm {rot} ({\\vec {f}})}

>>Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation

Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist `F33f`_`[harmonisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Harmonische_Funktion]`_`f:

div ⁡ ⁡ ( f → → ) = 0 und r o t ( f → → ) = 0 → → → → Δ Δ f → → = 0 → → {\\displaystyle \\operatorname {div} ({\\vec {f}})=0\\;{\\text{und}}\\;\\mathrm {rot} ({\\vec {f}})={\\vec {0}}\\quad \\rightarrow \\quad \\Delta {\\vec {f}}={\\vec {0}}}

>>>Helmholtz-Theorem

Siehe auch

:

Helmholtz-Theorem

Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.

f → → = f → → 1 + f → → 2 : d i v ( f → → 1 ) = 0 und rot ⁡ ⁡ ( f → → 2 ) = 0 → → ↔ ↔ ∃ ∃ g , g → → : f → → = rot ⁡ ⁡ ( g → → ) + g r a d ( g ) {\\displaystyle {\\begin{array}{rclccl}{\\vec {f}}={\\vec {f}}_{1}+{\\vec {f}}_{2}:&&&\\mathrm {div} ({\\vec {f}}_{1})=0&{\\text{und}}&\\operatorname {rot} ({\\vec {f}}_{2})={\\vec {0}}\\\\\\leftrightarrow \\exists g,{\\vec {g}}:&&{\\vec {f}}=&\\operatorname {rot} ({\\vec {g}})&+&\\mathrm {grad} (g)\\end{array}}}

>>>Satz über rotationsfreie Felder

Siehe auch

:

Poincaré-Lemma

I : r o t ( u → → ) := e ^ ^ k × × u → → , k = 0 → → → → ∃ ∃ f : : u → → = g r a d ( f ) II : r o t ( T ) = 0 → → ∃ ∃ u → → : : T = g r a d ( u → → ) III : r o t ( T ) = 0 und S p ( T ) = 0 → → ∃ ∃ W : : T = r o t ( W ) und W = − − W ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\begin{array}{rrcll}{\\textsf {I}}:&\\mathrm {rot} ({\\vec {u}}):={\\hat {e}}_{k}\\times {\\vec {u}}_{,k}={\\vec {0}}&\\rightarrow &\\exists f\\colon &{\\vec {u}}=\\mathrm {grad} (f)\\\\{\\textsf {II}}:&\\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )=\\mathbf {0} &\\rightarrow &\\exists {\\vec {u}}\\colon &\\mathbf {T} =\\mathrm {grad} ({\\vec {u}})\\\\{\\textsf {III}}:&\\mathrm {rot} (\\mathbf {T} )=\\mathbf {0} \\;{\\text{und}}\\;\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )=0&\\rightarrow &\\exists \\mathbf {W} \\colon &\\mathbf {T} =\\mathrm {rot} (\\mathbf {W} )\\;{\\text{und}}\\;\\mathbf {W} =-\\mathbf {W} ^{\\top }\\end{array}}}

oder

II : ∇ ∇ × × ( T ⊤ ⊤ ) = 0 → → ∃ ∃ u → → : : T = g r a d ( u → → ) III : ∇ ∇ × × ( T ⊤ ⊤ ) = 0 und S p ( T ) = 0 → → ∃ ∃ W : : T = r o t ( W ) und W = − − W ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\begin{array}{rrcll}{\\textsf {II}}:&\\nabla \\times (\\mathbf {T} ^{\\top })=\\mathbf {0} &\\rightarrow &\\exists {\\vec {u}}\\colon &\\mathbf {T} =\\mathrm {grad} ({\\vec {u}})\\\\{\\textsf {III}}:&\\nabla \\times (\\mathbf {T} ^{\\top })=\\mathbf {0} \\;{\\text{und}}\\;\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )=0&\\rightarrow &\\exists \\mathbf {W} \\colon &\\mathbf {T} =\\mathrm {rot} (\\mathbf {W} )\\;{\\text{und}}\\;\\mathbf {W} =-\\mathbf {W} ^{\\top }\\end{array}}}

>>>Gaußscher Integralsatz

Siehe auch

:

Gaußscher Integralsatz

• Volumen v {\\displaystyle v} mit `F33f`_`[Volumenform`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Volumenform]`_`f d v {\\displaystyle \\mathrm {d} v} und

• Oberfläche a {\\displaystyle a} mit `F33f`_`[äußerem vektoriellem Oberflächenelement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Oberflächenintegral]`_`f d a → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {a}}}

• Ortsvektoren x → → ∈ ∈ v {\\displaystyle {\\vec {x}}\\in v}

• Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion f , f → → , T {\\displaystyle f,{\\vec {f}},\\mathbf {T} } des Ortes x → → {\\displaystyle {\\vec {x}}} :

∫ ∫ v g r a d ( f ) d v = ∫ ∫ a f d a → → ∫ ∫ v g r a d ( f → → ) d v = ∫ ∫ a f → → ⊗ ⊗ d a → → ∫ ∫ v d i v ( f → → ) d v = ∫ ∫ a f → → ⋅ ⋅ d a → → ∫ ∫ v r o t ( f → → ) d v = − − ∫ ∫ a f → → × × d a → → ∫ ∫ v d i v ( T ) d v = ∫ ∫ a T ⋅ ⋅ d a → → ∫ ∫ v ∇ ∇ ⋅ ⋅ T d v = ∫ ∫ a T ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ d a → → {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}\\int _{v}\\mathrm {grad} (f)\\,\\mathrm {d} v&=&\\int _{a}f\\,\\mathrm {d} {\\vec {a}}\\\\\\int _{v}\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\,\\mathrm {d} v&=&\\int _{a}{\\vec {f}}\\otimes \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\\\\\int _{v}\\mathrm {div} ({\\vec {f}})\\,\\mathrm {d} v&=&\\int _{a}{\\vec {f}}\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\\\\\int _{v}\\mathrm {rot} ({\\vec {f}})\\,\\mathrm {d} v&=&-\\int _{a}{\\vec {f}}\\times \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\\\\\int _{v}\\mathrm {div} (\\mathbf {T} )\\,\\mathrm {d} v&=&\\int _{a}\\mathbf {T} \\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\\\\\int _{v}\\nabla \\cdot \\mathbf {T} \\,\\mathrm {d} v&=&\\int _{a}\\mathbf {T} ^{\\top }\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\end{array}}}

Mit der `F33f`_`[#Produktregel für Gradienten`#produktregel-f-r-gradienten]`_`f, `F33f`_`[#Produktregel für Divergenzen`#produktregel-f-r-divergenzen]`_`f und `F33f`_`[#Produktregel für Rotationen`#produktregel-f-r-rotationen]`_`f können Formeln für die `F33f`_`[partielle Integration`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Integration]`_`f im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

g r a d ( f g ) = g r a d ( f ) g + f g r a d ( g ) → → ∫ ∫ v g r a d ( f ) g d v = ∫ ∫ a f g d a → → − − ∫ ∫ v f g r a d ( g ) d v {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {grad} (fg)=&\\mathrm {grad} (f)g+f\\mathrm {grad} (g)\\\\\\rightarrow \\int _{v}\\mathrm {grad} (f)g\\,\\mathrm {d} v=&\\int _{a}fg\\,\\mathrm {d} {\\vec {a}}-\\int _{v}f\\mathrm {grad} (g)\\,\\mathrm {d} v\\end{aligned}}}

>>>Klassischer Integralsatz von Stokes

Siehe auch

:

Satz von Stokes

Gegeben:

• Fläche a {\\displaystyle a} mit `F33f`_`[äußerem vektoriellem Oberflächenelement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Oberflächenintegral]`_`f d a → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {a}}}

• Berandungskurve b {\\displaystyle b} der Fläche a {\\displaystyle a} mit `F33f`_`[Linienelement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linienelement]`_`f d b → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {b}}}

• Ortsvektoren x → → ∈ ∈ a {\\displaystyle {\\vec {x}}\\in a}

Vektorwertige Funktion f → → ( x → → , t ) {\\displaystyle {\\vec {f}}({\\vec {x}},t)} :

∫ ∫ a r o t ( f → → ) ⋅ ⋅ d a → → = ∮ ∮ b f → → ⋅ ⋅ d b → → {\\displaystyle \\int _{a}\\mathrm {rot} ({\\vec {f}})\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}=\\oint _{b}{\\vec {f}}\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {b}}}

Mit der `F33f`_`[#Produktregel für Rotationen`#produktregel-f-r-rotationen]`_`f können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

r o t ( f g → → ) = g r a d ( f ) × × g → → + f r o t ( g → → ) → → ∫ ∫ a ( g r a d ( f ) × × g → → ) ⋅ ⋅ d a → → = ∮ ∮ b f g → → ⋅ ⋅ d b → → − − ∫ ∫ a f r o t ( g → → ) ⋅ ⋅ d a → → {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {rot} (f{\\vec {g}})=&\\mathrm {grad} (f)\\times {\\vec {g}}+f\\mathrm {rot} ({\\vec {g}})\\\\\\rightarrow \\int _{a}{\\big (}\\mathrm {grad} (f)\\times {\\vec {g}}{\\big )}\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}=&\\oint _{b}f{\\vec {g}}\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {b}}-\\int _{a}f\\mathrm {rot} ({\\vec {g}})\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}\\end{aligned}}}

>>>Reynoldscher Transportsatz

Siehe auch

:

Reynolds’scher Transportsatz

Gegeben:

• Zeit t {\\displaystyle t}

• Zeitabhängiges Volumen v {\\displaystyle v} mit `F33f`_`[Volumenform`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Volumenform]`_`f d v {\\displaystyle \\mathrm {d} v} mit

• Oberfläche des Volumes a {\\displaystyle a} und `F33f`_`[äußerem vektoriellem Oberflächenelement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Oberflächenintegral]`_`f d a → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {a}}}

• Ortsvektoren x → → ∈ ∈ v {\\displaystyle {\\vec {x}}\\in v}

• Geschwindigkeitsfeld: v → → ( x → → , t ) {\\displaystyle {\\vec {v}}({\\vec {x}},t)}

• Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit f ( x → → , t ) {\\displaystyle f({\\vec {x}},t)} , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.

• Die Integrale Größe für das Volumen: ∫ ∫ v f → → ( x → → , t ) d v {\\displaystyle \\int _{v}{\\vec {f}}({\\vec {x}},t)\\,\\mathrm {d} v}

Skalare Funktion f ( x → → , t ) {\\displaystyle f({\\vec {x}},t)} :

d d t ∫ ∫ v f d v = ∫ ∫ v ∂ ∂ f ∂ ∂ t d v + ∫ ∫ a f ( v → → ⋅ ⋅ d a → → ) = ∫ ∫ v ( ∂ ∂ f ∂ ∂ t + d i v ( f v → → ) ) d v = ∫ ∫ v ( ∂ ∂ f ∂ ∂ t + g r a d ( f ) ⋅ ⋅ v → → + d i v ( v → → ) f ) d v = ∫ ∫ v ( f ˙ ˙ + d i v ( v → → ) f ) d v {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}{\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\int _{v}f\\,\\mathrm {d} v&=&\\int _{v}{\\frac {\\partial f}{\\partial t}}\\,\\mathrm {d} v+\\int _{a}f({\\vec {v}}\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}})=\\int _{v}\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial t}}+\\mathrm {div} (f{\\vec {v}})\\right)\\,\\mathrm {d} v\\\\&=&\\int _{v}\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial t}}+\\mathrm {grad} (f)\\cdot {\\vec {v}}+\\mathrm {div} ({\\vec {v}})\\,f\\right)\\,\\mathrm {d} v=\\int _{v}\\left({\\dot {f}}+\\mathrm {div} ({\\vec {v}})\\,f\\right)\\,\\mathrm {d} v\\end{array}}}

Vektorwertige Funktion f → → ( x → → , t ) {\\displaystyle {\\vec {f}}({\\vec {x}},t)} :

d d t ∫ ∫ v f → → d v = ∫ ∫ v ∂ ∂ f → → ∂ ∂ t d v + ∫ ∫ a f → → ( v → → ⋅ ⋅ d a → → ) = ∫ ∫ v ( ∂ ∂ f → → ∂ ∂ t + d i v ( v → → ⊗ ⊗ f → → ) ) d v = ∫ ∫ v ( ∂ ∂ f → → ∂ ∂ t + g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ v → → + d i v ( v → → ) f → → ) d v = ∫ ∫ v ( f → → ˙ ˙ + d i v ( v → → ) f → → ) d v {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}{\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\int _{v}{\\vec {f}}\\,\\mathrm {d} v&=&\\int _{v}{\\frac {\\partial {\\vec {f}}}{\\partial t}}\\,\\mathrm {d} v+\\int _{a}{\\vec {f}}({\\vec {v}}\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}})=\\int _{v}\\left({\\frac {\\partial {\\vec {f}}}{\\partial t}}+\\mathrm {div} ({\\vec {v}}\\otimes {\\vec {f}})\\right)\\,\\mathrm {d} v\\\\&=&\\int _{v}\\left({\\frac {\\partial {\\vec {f}}}{\\partial t}}+\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot {\\vec {v}}+\\mathrm {div} ({\\vec {v}}){\\vec {f}}\\right)\\,\\mathrm {d} v=\\int _{v}({\\dot {\\vec {f}}}+\\mathrm {div} ({\\vec {v}}){\\vec {f}})\\,\\mathrm {d} v\\end{array}}}

>>>Transportsatz für Flächenintegrale

Gegeben:

• Zeit t {\\displaystyle t}

• Ortsvektoren x → → ∈ ∈ v {\\displaystyle {\\vec {x}}\\in v}

• Geschwindigkeitsfeld: v → → ( x → → , t ) {\\displaystyle {\\vec {v}}({\\vec {x}},t)}

• Zeitabhängige Fläche a : : [ 0 , 1 ] 2 ↦ ↦ v {\\displaystyle a\\colon [0,1]^{2}\\mapsto v} , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement d a → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {a}}} im Volumen v integriert wird

• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße f ( x → → , t ) {\\displaystyle f({\\vec {x}},t)} , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.

• Die Integrale Größe auf der Fläche: ∫ ∫ a f ( x → → , t ) ⋅ ⋅ d a → → {\\displaystyle \\int _{a}f({\\vec {x}},t)\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {a}}}

Skalare Funktion f ( x → → , t ) {\\displaystyle f({\\vec {x}},t)} :

d d t ∫ ∫ a f d a → → = ∫ ∫ a [ f ˙ ˙ 1 + f div ⁡ ⁡ ( v → → ) 1 − − f grad ⁡ ⁡ ( v → → ) ⊤ ⊤ ] ⋅ ⋅ d a → → {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\int _{a}f\\,\\mathrm {d} {\\vec {a}}=\\int _{a}[{\\dot {f}}\\mathbf {1} +f\\operatorname {div} ({\\vec {v}})\\mathbf {1} -f\\operatorname {grad} ({\\vec {v}})^{\\top }]\\cdot \\,\\mathrm {d} {\\vec {a}}}

Vektorwertige Funktion f → → ( x → → , t ) {\\displaystyle {\\vec {f}}({\\vec {x}},t)} :

d d t ∫ ∫ a f → → ⋅ ⋅ d a → → = ∫ ∫ a [ f → → ˙ ˙ + f → → div ⁡ ⁡ ( v → → ) − − grad ⁡ ⁡ ( v → → ) ⋅ ⋅ f → → ] ⋅ ⋅ d a → → {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\int _{a}{\\vec {f}}\\cdot \\,\\mathrm {d} {\\vec {a}}=\\int _{a}[{\\dot {\\vec {f}}}+{\\vec {f}}\\operatorname {div} ({\\vec {v}})-\\operatorname {grad} ({\\vec {v}})\\cdot {\\vec {f}}]\\cdot \\,\\mathrm {d} {\\vec {a}}}

>>>Transportsatz für Kurvenintegrale

Gegeben:

• Zeit t {\\displaystyle t}

• Ortsvektoren x → → ∈ ∈ v {\\displaystyle {\\vec {x}}\\in v}

• Geschwindigkeitsfeld: v → → ( x → → , t ) {\\displaystyle {\\vec {v}}({\\vec {x}},t)}

• Zeitabhängige Kurve b : : [ 0 , 1 ) ↦ ↦ v {\\displaystyle b\\colon [0,1)\\mapsto v} , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement d b → → {\\displaystyle \\mathrm {d} {\\vec {b}}} im Volumen v integriert wird

• Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße f ( x → → , t ) {\\displaystyle f({\\vec {x}},t)} , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.

• Die Integrale Größe entlang des Weges: ∫ ∫ b f ( x → → , t ) ⋅ ⋅ d b → → {\\displaystyle \\int _{b}f({\\vec {x}},t)\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {b}}}

Skalare Funktion f ( x → → , t ) {\\displaystyle f({\\vec {x}},t)} :

d d t ∮ ∮ b f d b → → = ∮ ∮ b ( f ˙ ˙ 1 + f g r a d v → → ) ⋅ ⋅ d b → → {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\oint _{b}f\\,\\mathrm {d} {\\vec {b}}=\\oint _{b}({\\dot {f}}\\mathbf {1} +f\\,\\mathrm {grad} {\\vec {v}})\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {b}}}

Vektorwertige Funktion f → → ( x → → , t ) {\\displaystyle {\\vec {f}}({\\vec {x}},t)} :

d d t ∮ ∮ b f → → ⋅ ⋅ d b → → = ∮ ∮ b ( f → → ˙ ˙ + f → → ⋅ ⋅ g r a d v → → ) ⋅ ⋅ d b → → {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\oint _{b}{\\vec {f}}\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {b}}=\\oint _{b}({\\dot {\\vec {f}}}+{\\vec {f}}\\cdot \\mathrm {grad} {\\vec {v}})\\cdot \\mathrm {d} {\\vec {b}}}

>>Kontinuumsmechanik

>>>Kleine Deformationen

Ingenieursdehnungen:

ε ε = ε ε i j e ^ ^ i ⊗ ⊗ e ^ ^ j = 1 2 ( u i , j + u j , i ) e ^ ^ i ⊗ ⊗ e ^ ^ j {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\varepsilon }}=\\varepsilon _{ij}{\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\hat {e}}_{j}={\\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i}){\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\hat {e}}_{j}}

`F33f`_`[Kompatibilitätsbedingungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kompatibilitätsbedingung]`_`f:

r o t ( r o t ( ε ε ) ) = ∇ ∇ × × ( ∇ ∇ × × ε ε ) ⊤ ⊤ = 0 ↓ ↓ 2 ε ε 12 , 12 − − ε ε 22 , 11 − − ε ε 11 , 22 = 0 2 ε ε 13 , 13 − − ε ε 33 , 11 − − ε ε 11 , 33 = 0 2 ε ε 23 , 23 − − ε ε 33 , 22 − − ε ε 22 , 33 = 0 ε ε 11 , 23 + ε ε 23 , 11 − − ε ε 12 , 13 − − ε ε 13 , 12 = 0 ε ε 22 , 13 + ε ε 13 , 22 − − ε ε 12 , 23 − − ε ε 23 , 12 = 0 ε ε 12 , 33 + ε ε 33 , 12 − − ε ε 13 , 23 − − ε ε 23 , 13 = 0 {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}\\mathrm {rot{\\big (}rot} ({\\boldsymbol {\\varepsilon }}){\\big )}=\\nabla \\times (\\nabla \\times {\\boldsymbol {\\varepsilon }})^{\\top }&=&\\mathbf {0} \\\\&\\downarrow &\\\\2\\varepsilon _{12,12}-\\varepsilon _{22,11}-\\varepsilon _{11,22}&=&0\\\\2\\varepsilon _{13,13}-\\varepsilon _{33,11}-\\varepsilon _{11,33}&=&0\\\\2\\varepsilon _{23,23}-\\varepsilon _{33,22}-\\varepsilon _{22,33}&=&0\\\\\\varepsilon _{11,23}+\\varepsilon _{23,11}-\\varepsilon _{12,13}-\\varepsilon _{13,12}&=&0\\\\\\varepsilon _{22,13}+\\varepsilon _{13,22}-\\varepsilon _{12,23}-\\varepsilon _{23,12}&=&0\\\\\\varepsilon _{12,33}+\\varepsilon _{33,12}-\\varepsilon _{13,23}-\\varepsilon _{23,13}&=&0\\end{array}}}

>>>Starrkörperbewegung

Orthogonaler Tensor Q {\\displaystyle \\mathbf {Q} } beschreibt die Drehung.

Ω Ω := Q ˙ ˙ ⋅ ⋅ Q ⊤ ⊤ = ( Q ⋅ ⋅ Q ˙ ˙ ⊤ ⊤ ) ⊤ ⊤ = − − Q ⋅ ⋅ Q ˙ ˙ ⊤ ⊤ {\\displaystyle \\mathbf {\\Omega } :={\\dot {\\mathbf {Q} }}\\cdot \\mathbf {Q} ^{\\top }={(\\mathbf {Q} \\cdot {\\dot {\\mathbf {Q} }}^{\\top })}^{\\top }=-\\mathbf {Q} \\cdot {\\dot {\\mathbf {Q} }}^{\\top }}

Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor ω ω → → {\\displaystyle {\\vec {\\omega }}} des schiefsymmetrischen Tensors Ω Ω {\\displaystyle \\mathbf {\\Omega } } ist die `F33f`_`[Winkelgeschwindigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Winkelgeschwindigkeit]`_`f:

Ω Ω ⋅ ⋅ r → → = ω ω → → × × r → → ∀ ∀ r → → {\\displaystyle \\mathbf {\\Omega } \\cdot {\\vec {r}}={\\vec {\\omega }}\\times {\\vec {r}}{\\quad \\forall \\;}{\\vec {r}}}

Starrkörperbewegung mit r → → = c o n s t . {\\displaystyle {\\vec {r}}=\\mathrm {const.} } :

x → → = f → → + Q ⋅ ⋅ r → → → → r → → = Q ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ ( x → → − − f → → ) {\\displaystyle {\\vec {x}}={\\vec {f}}+\\mathbf {Q} \\cdot {\\vec {r}}\\quad \\rightarrow \\quad {\\vec {r}}=\\mathbf {Q} ^{\\top }\\cdot ({\\vec {x}}-{\\vec {f}})}

v → → = f → → ˙ ˙ + Q ˙ ˙ ⋅ ⋅ r → → = f → → ˙ ˙ + Q ˙ ˙ ⋅ ⋅ Q ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ ( x → → − − f → → ) = f → → ˙ ˙ + Ω Ω ⋅ ⋅ ( x → → − − f → → ) = f → → ˙ ˙ + ω ω → → × × ( x → → − − f → → ) {\\displaystyle {\\vec {v}}={\\dot {\\vec {f}}}+{\\dot {\\mathbf {Q} }}\\cdot {\\vec {r}}={\\dot {\\vec {f}}}+{\\dot {\\mathbf {Q} }}\\cdot \\mathbf {Q} ^{\\top }\\cdot ({\\vec {x}}-{\\vec {f}})={\\dot {\\vec {f}}}+\\mathbf {\\Omega } \\cdot ({\\vec {x}}-{\\vec {f}})={\\dot {\\vec {f}}}+{\\vec {\\omega }}\\times ({\\vec {x}}-{\\vec {f}})}

>>>Ableitungen der Invarianten

∂ ∂ I 1 ( T ) ∂ ∂ T = ∂ ∂ S p ( T ) ∂ ∂ T = 1 {\\displaystyle {\\frac {\\partial \\mathrm {I} _{1}(\\mathbf {T} )}{\\partial \\mathbf {T} }}={\\frac {\\partial \\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )}{\\partial \\mathbf {T} }}=\\mathbf {1} }

∂ ∂ I 2 ( T ) ∂ ∂ T = I 1 ( T ) 1 − − T ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\frac {\\partial \\mathrm {I} _{2}(\\mathbf {T} )}{\\partial \\mathbf {T} }}=\\mathrm {I} _{1}(\\mathbf {T} )\\mathbf {1} -\\mathbf {T} ^{\\top }}

∂ ∂ I 3 ( T ) ∂ ∂ T = ∂ ∂ d e t ( T ) ∂ ∂ T = d e t ( T ) T ⊤ ⊤ − − 1 = c o f ( T ) = T ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ T ⊤ ⊤ − − I 1 ( T ) T ⊤ ⊤ + I 2 ( T ) 1 {\\displaystyle {\\frac {\\partial \\mathrm {I} _{3}(\\mathbf {T} )}{\\partial \\mathbf {T} }}={\\frac {\\partial \\mathrm {det} (\\mathbf {T} )}{\\partial \\mathbf {T} }}=\\mathrm {det} (\\mathbf {T} )\\mathbf {T} ^{\\top -1}=\\mathrm {cof} (\\mathbf {T} )=\\mathbf {T^{\\top }\\cdot T^{\\top }} -\\mathrm {I} _{1}(\\mathbf {T} )\\mathbf {T} ^{\\top }+\\mathrm {I} _{2}(\\mathbf {T} )\\mathbf {1} }

mit der transponiert inversen `!T`!⊤-1 und dem `F33f`_`[Kofaktor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f cof(`!T`!) des Tensors `!T`!.

Funktion f {\\displaystyle f} der Invarianten:

∂ ∂ f ∂ ∂ T ( I 1 ( T ) , I 2 ( T ) , I 3 ( T ) ) = ( ∂ ∂ f ∂ ∂ I 1 + I 1 ∂ ∂ f ∂ ∂ I 2 + I 2 ∂ ∂ f ∂ ∂ I 3 ) 1 − − ( ∂ ∂ f ∂ ∂ I 2 + I 1 ∂ ∂ f ∂ ∂ I 3 ) T ⊤ ⊤ + ∂ ∂ f ∂ ∂ I 3 T ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ T ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\begin{aligned}{\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathbf {T} }}(\\mathrm {I} _{1}(\\mathbf {T} ),\\,\\mathrm {I} _{2}(\\mathbf {T} ),\\,\\mathrm {I} _{3}(\\mathbf {T} ))=&\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathrm {I} _{1}}}+\\mathrm {I} _{1}{\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathrm {I} _{2}}}+\\mathrm {I} _{2}{\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathrm {I} _{3}}}\\right)\\mathbf {1} -\\left({\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathrm {I} _{2}}}+\\mathrm {I} _{1}{\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathrm {I} _{3}}}\\right)\\mathbf {T} ^{\\top }\\\\&+{\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathrm {I} _{3}}}\\mathbf {T} ^{\\top }\\cdot \\mathbf {T} ^{\\top }\\end{aligned}}}

Ableitung der `F33f`_`[Frobenius-Norm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Frobenius-Norm]`_`f:

∂ ∂ ∥ ∥ T ∥ ∥ ∂ ∂ T = T ∥ ∥ T ∥ ∥ {\\displaystyle {\\frac {\\partial \\parallel \\mathbf {T} \\parallel }{\\partial \\mathbf {T} }}={\\frac {\\mathbf {T} }{\\parallel \\mathbf {T} \\parallel }}}

Eigenwerte (aus der impliziten Ableitung des `F33f`_`[charakteristischen Polynoms`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Charakteristisches_Polynom]`_`f):

T ⋅ ⋅ v → → = λ λ v → → → → d e t ( T − − λ λ 1 ) = − − λ λ 3 + I 1 λ λ 2 − − I 2 λ λ + I 3 = 0 {\\displaystyle \\mathbf {T} \\cdot {\\vec {v}}=\\lambda {\\vec {v}}\\quad \\rightarrow \\quad \\mathrm {det} (\\mathbf {T} -\\lambda \\mathbf {1} )=-\\lambda ^{3}+\\mathrm {I} _{1}\\lambda ^{2}-\\mathrm {I} _{2}\\lambda +\\mathrm {I} _{3}=0}

→ d λ λ d T = ( λ λ 2 − − λ λ I 1 + I 2 ) 1 + ( λ λ − − I 1 ) T ⊤ ⊤ + T ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ T ⊤ ⊤ 3 λ λ 2 − − 2 I 1 λ λ + I 2 {\\displaystyle {\\dfrac {\\mathrm {d} \\lambda }{\\mathrm {d} \\mathbf {T} }}={\\dfrac {(\\lambda ^{2}-\\lambda \\mathrm {I} _{1}+\\mathrm {I} _{2})\\mathbf {1} +(\\lambda -\\mathrm {I} _{1})\\mathbf {T} ^{\\top }+\\mathbf {T^{\\top }\\cdot T^{\\top }} }{3\\lambda ^{2}-2\\mathrm {I} _{1}\\lambda +\\mathrm {I} _{2}}}}

Eigenwerte symmetrischer Tensoren:

T ⋅ ⋅ v → → = λ λ v → → → → ∂ ∂ λ λ ∂ ∂ T = v → → ⊗ ⊗ v → → {\\displaystyle \\mathbf {T} \\cdot {\\vec {v}}=\\lambda {\\vec {v}}\\quad \\rightarrow \\quad {\\frac {\\partial \\lambda }{\\partial \\mathbf {T} }}={\\vec {v}}\\otimes {\\vec {v}}}

Eigenwerte von T = ∑ ∑ i = 1 3 λ λ i v → → i ⊗ ⊗ v → → i {\\displaystyle \\mathbf {T} =\\sum _{i=1}^{3}\\lambda _{i}\\,{\\vec {v}}_{i}\\otimes {\\vec {v}}^{i}} , wo v → → i {\\displaystyle {\\vec {v}}^{i}} `F33f`_`[dual`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Duale_Basis]`_`f zu den Eigenvektoren v → → i {\\displaystyle {\\vec {v}}_{i}} sind ( v → → i ⋅ ⋅ v → → j = δ δ i j ) {\\displaystyle ({\\vec {v}}_{i}\\cdot {\\vec {v}}^{j}=\\delta _{i}^{j})} :

∂ ∂ λ λ i ∂ ∂ T = v → → i ⊗ ⊗ v → → i {\\displaystyle {\\frac {\\partial \\lambda _{i}}{\\partial \\mathbf {T} }}={\\vec {v}}^{i}\\otimes {\\vec {v}}_{i}} (keine Summe)

Die Eigenwerte von T = c v → → 1 ⊗ ⊗ v → → 1 + a ( v → → 2 ⊗ ⊗ v → → 2 + v → → 3 ⊗ ⊗ v → → 3 ) + b ( v → → 2 ⊗ ⊗ v → → 3 − − v → → 3 ⊗ ⊗ v → → 2 ) {\\displaystyle \\mathbf {T} =c\\,{\\vec {v}}_{1}\\otimes {\\vec {v}}^{1}+a({\\vec {v}}_{2}\\otimes {\\vec {v}}^{2}+{\\vec {v}}_{3}\\otimes {\\vec {v}}^{3})+b({\\vec {v}}_{2}\\otimes {\\vec {v}}^{3}-{\\vec {v}}_{3}\\otimes {\\vec {v}}^{2})} sind λ λ 1 = c , λ λ 2 = a + i b , λ λ 3 = a − − i b {\\displaystyle \\lambda _{1}=c,\\,\\lambda _{2}=a+\\mathrm {i} b,\\,\\lambda _{3}=a-\\mathrm {i} b} mit den Eigenvektoren v → → 1 , w → → 2 = v → → 2 + i v → → 3 , w → → 3 = v → → 2 − − i v → → 3 {\\displaystyle {\\vec {v}}_{1},\\,{\\vec {w}}_{2}={\\vec {v}}_{2}+\\mathrm {i} {\\vec {v}}_{3},\\,{\\vec {w}}_{3}={\\vec {v}}_{2}-\\mathrm {i} {\\vec {v}}_{3}} . Hier ist:

∂ ∂ λ λ 1 ∂ ∂ T = v → → 1 ⊗ ⊗ v → → 1 , ∂ ∂ λ λ k ∂ ∂ T = 1 2 w → → k ⊗ ⊗ w → → k ¯ ¯ , k = 2 , 3 {\\displaystyle {\\frac {\\partial \\lambda _{1}}{\\partial \\mathbf {T} }}={\\vec {v}}^{1}\\otimes {\\vec {v}}_{1},\\quad {\\frac {\\partial \\lambda _{k}}{\\partial \\mathbf {T} }}={\\frac {1}{2}}{\\overline {{\\vec {w}}^{k}\\otimes {\\vec {w}}_{k}}},\\quad k=2,3} (keine Summe)

mit w → → 2 = v → → 2 + i v → → 3 , w → → 3 = v → → 2 − − i v → → 3 {\\displaystyle {\\vec {w}}^{2}={\\vec {v}}^{2}+\\mathrm {i} {\\vec {v}}^{3},\\,{\\vec {w}}^{3}={\\vec {v}}^{2}-\\mathrm {i} {\\vec {v}}^{3}} und der Überstrich markiert den `F33f`_`[konjugiert komplexen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Konjugiert_komplex]`_`f Wert.

>>>Konvektive Koordinaten

Siehe auch

:

Konvektive Koordinaten

Konvektive Koordinaten y 1 , y 2 , y 3 ∈ ∈ R {\\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}\\in \\mathbb {R} }

Kovariante Basisvektoren B → → i = d X → → d y i {\\displaystyle {\\vec {B}}_{i}={\\frac {\\mathrm {d} {\\vec {X}}}{\\mathrm {d} y_{i}}}} , b → → i = d x → → d y i {\\displaystyle {\\vec {b}}_{i}={\\frac {\\mathrm {d} {\\vec {x}}}{\\mathrm {d} y_{i}}}}

Kontravariante Basisvektoren B → → i = d y i d X → → := G R A D ( y i ) {\\displaystyle {\\vec {B}}^{i}={\\frac {\\mathrm {d} y_{i}}{\\mathrm {d} {\\vec {X}}}}:=\\mathrm {GRAD} (y_{i})} , b → → i = d y i d x → → := g r a d ( y i ) {\\displaystyle {\\vec {b}}^{i}={\\frac {\\mathrm {d} y_{i}}{\\mathrm {d} {\\vec {x}}}}:=\\mathrm {grad} (y_{i})}

B → → i ⋅ ⋅ B → → j = b → → i ⋅ ⋅ b → → j = δ δ i j {\\displaystyle {\\vec {B}}_{i}\\cdot {\\vec {B}}^{j}={\\vec {b}}_{i}\\cdot {\\vec {b}}^{j}=\\delta _{i}^{j}}

Deformationsgradient F = b → → i ⊗ ⊗ B → → i {\\displaystyle \\mathbf {F} ={\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\vec {B}}^{i}}

`F33f`_`[Räumlicher Geschwindigkeitsgradient`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeitsgradient]`_`f l = b → → ˙ ˙ i ⊗ ⊗ b → → i = − − b → → i ⊗ ⊗ b → → ˙ ˙ i {\\displaystyle \\mathbf {l} ={\\dot {\\vec {b}}}_{i}\\otimes {\\vec {b}}^{i}=-{\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\dot {\\vec {b}}}^{i}}

Kovarianter Tensor T = T i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j {\\displaystyle \\mathbf {T} =T_{ij}{\\vec {b}}^{i}\\otimes {\\vec {b}}^{j}}

Kontravarianter Tensor T = T i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j {\\displaystyle \\mathbf {T} =T^{ij}{\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\vec {b}}_{j}}

>>>Geschwindigkeitsgradient

Siehe auch

:

Geschwindigkeitsgradient

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient: l = g r a d ( v → → ) = F ˙ ˙ ⋅ ⋅ F − − 1 {\\displaystyle \\mathbf {l} =\\mathrm {grad} ({\\vec {v}})={\\dot {\\mathbf {F} }}\\cdot \\mathbf {F} ^{-1}}

Divergenz der Geschwindigkeit: d i v ( v → → ) = S p ( l ) {\\displaystyle \\mathrm {div} ({\\vec {v}})=\\mathrm {Sp} (\\mathbf {l} )}

`F33f`_`[Winkelgeschwindigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Winkelgeschwindigkeit]`_`f oder `F33f`_`[Wirbelstärke`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wirbelstärke]`_`f ist der `F33f`_`[duale axiale Vektor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f

ω ω → → = l → → A = − − 1 2 i → → ( l ) = 1 2 r o t ( v → → ) {\\displaystyle {\\vec {\\omega }}={\\stackrel {A}{\\vec {\\mathbf {l} }}}=-{\\frac {1}{2}}{\\vec {\\mathrm {i} }}(\\mathbf {l} )={\\frac {1}{2}}\\mathrm {rot} ({\\vec {v}})}

D D t d e t ( F ) = d e t ( F ) F ⊤ ⊤ − − 1 : F ˙ ˙ = d e t ( F ) S p ( F ˙ ˙ ⋅ ⋅ F − − 1 ) = d e t ( F ) d i v ( v → → ) {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {D} }{\\mathrm {D} t}}\\mathrm {det} (\\mathbf {F} )=\\mathrm {det} (\\mathbf {F} )\\mathbf {F} ^{\\top -1}:{\\dot {\\mathbf {F} }}=\\mathrm {det} (\\mathbf {F} )\\mathrm {Sp} ({\\dot {\\mathbf {F} }}\\cdot \\mathbf {F} ^{-1})=\\mathrm {det} (\\mathbf {F} )\\,\\mathrm {div} ({\\vec {v}})}

>>>Objektive Zeitableitungen

Siehe auch

:

Euklidische Transformation

Bezeichnungen wie in `F33f`_`[#Konvektive Koordinaten`#konvektive-koordinaten]`_`f.

`F33f`_`[Räumlicher Geschwindigkeitsgradient`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeitsgradient]`_`f l = b → → ˙ ˙ i ⊗ ⊗ b → → i = − − b → → i ⊗ ⊗ b → → ˙ ˙ i = d + w {\\displaystyle \\mathbf {l} ={\\dot {\\vec {b}}}_{i}\\otimes {\\vec {b}}^{i}=-{\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\dot {\\vec {b}}}\\,^{i}=\\mathbf {d} +\\mathbf {w} }

Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit d = 1 2 ( l + l ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\mathbf {d} ={\\frac {1}{2}}(\\mathbf {l} +\\mathbf {l} ^{\\top })}

Wirbel- oder Spintensor w = 1 2 ( l − − l ⊤ ⊤ ) {\\displaystyle \\mathbf {w} ={\\frac {1}{2}}(\\mathbf {l} -\\mathbf {l} ^{\\top })}

>>>>Objektive Zeitableitungen von Vektoren

Gegeben: v → → = v i b → → i = v i b → → i {\\displaystyle {\\vec {v}}=v_{i}{\\vec {b}}^{i}=v^{i}{\\vec {b}}_{i}} :

v → → Δ Δ = v → → ˙ ˙ + l ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ v → → = v ˙ ˙ i b → → i v → → ∇ ∇ = v → → ˙ ˙ − − l ⋅ ⋅ v → → = v ˙ ˙ i b → → i v → → ∘ ∘ = v → → ˙ ˙ − − w ⋅ ⋅ v → → {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}{\\stackrel {\\Delta }{\\vec {v}}}&=&{\\dot {\\vec {v}}}+\\mathbf {l} ^{\\top }\\cdot {\\vec {v}}&=&{\\dot {v}}_{i}{\\vec {b}}^{i}\\\\{\\stackrel {\\nabla }{\\vec {v}}}&=&{\\dot {\\vec {v}}}-\\mathbf {l} \\cdot {\\vec {v}}&=&{\\dot {v}}^{i}{\\vec {b}}_{i}\\\\{\\stackrel {\\circ }{\\vec {v}}}&=&{\\dot {\\vec {v}}}-\\mathbf {w} \\cdot {\\vec {v}}\\end{array}}}

>>>>Objektive Zeitableitungen von Tensoren

Gegeben: T = T i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j = T i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j {\\displaystyle \\mathbf {T} =T_{ij}{\\vec {b}}^{i}\\otimes {\\vec {b}}^{j}=T^{ij}{\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\vec {b}}_{j}}

T Δ Δ = T ˙ ˙ + T ⋅ ⋅ l + l ⊤ ⊤ ⋅ ⋅ T = T ˙ ˙ i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j T ∇ ∇ = T ˙ ˙ − − l ⋅ ⋅ T − − T ⋅ ⋅ l ⊤ ⊤ = T ˙ ˙ i j b → → i ⊗ ⊗ b → → j T ∘ ∘ = T ˙ ˙ + T ⋅ ⋅ w − − w ⋅ ⋅ T T ⋄ ⋄ = T ˙ ˙ + S p ( l ) T − − l ⋅ ⋅ T − − T ⋅ ⋅ l ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\begin{array}{rclcl}{\\stackrel {\\Delta }{\\mathbf {T} }}&=&{\\dot {\\mathbf {T} }}+\\mathbf {T\\cdot l} +\\mathbf {l} ^{\\top }\\cdot \\mathbf {T} &=&{\\dot {T}}_{ij}{\\vec {b}}^{i}\\otimes {\\vec {b}}^{j}\\\\{\\stackrel {\\nabla }{\\mathbf {T} }}&=&{\\dot {\\mathbf {T} }}-\\mathbf {l\\cdot T} -\\mathbf {T\\cdot l} ^{\\top }&=&{\\dot {T}}^{ij}{\\vec {b}}_{i}\\otimes {\\vec {b}}_{j}\\\\{\\stackrel {\\circ }{\\mathbf {T} }}&=&{\\dot {\\mathbf {T} }}+\\mathbf {T\\cdot w} -\\mathbf {w\\cdot T} \\\\{\\stackrel {\\diamond }{\\mathbf {T} }}&=&{\\dot {\\mathbf {T} }}+\\mathrm {Sp} (\\mathbf {l} )\\mathbf {T} -\\mathbf {l\\cdot T} -\\mathbf {T\\cdot l} ^{\\top }\\end{array}}}

>>>Materielle Zeitableitung

Siehe auch

:

Substantielle Ableitung

f ˙ ˙ ( x → → , t ) = D f D t = ∂ ∂ f ∂ ∂ t + g r a d ( f ) ⋅ ⋅ v → → = ∂ ∂ f ∂ ∂ t + ( v → → ⋅ ⋅ ∇ ∇ ) f {\\displaystyle {\\dot {f}}({\\vec {x}},t)={\\frac {\\mathrm {D} f}{\\mathrm {D} t}}={\\frac {\\partial f}{\\partial t}}+\\mathrm {grad} (f)\\cdot {\\vec {v}}={\\frac {\\partial f}{\\partial t}}+({\\vec {v}}\\cdot \\nabla )f}

f → → ˙ ˙ ( x → → , t ) = D f → → D t = ∂ ∂ f → → ∂ ∂ t + g r a d ( f → → ) ⋅ ⋅ v → → = ∂ ∂ f → → ∂ ∂ t + ( v → → ⋅ ⋅ ∇ ∇ ) f → → {\\displaystyle {\\dot {\\vec {f}}}({\\vec {x}},t)={\\frac {\\mathrm {D} {\\vec {f}}}{\\mathrm {D} t}}={\\frac {\\partial {\\vec {f}}}{\\partial t}}+\\mathrm {grad} ({\\vec {f}})\\cdot {\\vec {v}}={\\frac {\\partial {\\vec {f}}}{\\partial t}}+({\\vec {v}}\\cdot \\nabla ){\\vec {f}}}

`F33f`_`[#Kartesische Koordinaten`#kartesische-koordinaten]`_`f: D f D t := ∂ ∂ f ∂ ∂ t + v x ∂ ∂ f ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ f ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ f ∂ ∂ z {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {D} f}{\\mathrm {D} t}}:={\\frac {\\partial f}{\\partial t}}+v_{x}{\\frac {\\partial f}{\\partial x}}+v_{y}{\\frac {\\partial f}{\\partial y}}+v_{z}{\\frac {\\partial f}{\\partial z}}}

`F33f`_`[#Zylinderkoordinaten`#zylinderkoordinaten]`_`f: D f D t := ∂ ∂ f ∂ ∂ t + v ρ ρ ∂ ∂ f ∂ ∂ ρ ρ + v φ φ ρ ρ ∂ ∂ f ∂ ∂ φ φ + v z ∂ ∂ f ∂ ∂ z {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {D} f}{\\mathrm {D} t}}:={\\frac {\\partial f}{\\partial t}}+v_{\\rho }{\\frac {\\partial f}{\\partial \\rho }}+{\\frac {v_{\\varphi }}{\\rho }}{\\frac {\\partial f}{\\partial \\varphi }}+v_{z}{\\frac {\\partial f}{\\partial z}}}

`F33f`_`[#Kugelkoordinaten`#kugelkoordinaten]`_`f: D f D t := ∂ ∂ f ∂ ∂ t + v r ∂ ∂ f ∂ ∂ r + v φ φ r sin ⁡ ⁡ ( ϑ ϑ ) ∂ ∂ f ∂ ∂ φ φ + v ϑ ϑ r ∂ ∂ f ∂ ∂ ϑ ϑ {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {D} f}{\\mathrm {D} t}}:={\\frac {\\partial f}{\\partial t}}+v_{r}{\\frac {\\partial f}{\\partial r}}+{\\frac {v_{\\varphi }}{r\\sin(\\vartheta )}}{\\frac {\\partial f}{\\partial \\varphi }}+{\\frac {v_{\\vartheta }}{r}}{\\frac {\\partial f}{\\partial \\vartheta }}}

Materielle Zeitableitungen von Vektoren werden mittels D f → → D t = D f i D t e ^ ^ i {\\displaystyle {\\tfrac {\\mathrm {D} {\\vec {f}}}{\\mathrm {D} t}}={\\tfrac {\\mathrm {D} f_{i}}{\\mathrm {D} t}}{\\hat {e}}_{i}} daraus zusammengesetzt.

>>Fußnoten

`:cite-note-hbphys-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-hbphys-1-0]`_`f Morton E. Gurtin: „`*The linear theory of elasticity.`*“ In: S. Flügge (Hrsg.): `*Handbuch der Physik.`* Band VIa/2.: `*Festkörpermechanik II / C. Truesdell (Bandherausgeber).`* Springer, Berlin 1972, ISBN 3-540-05535-5, S. 10 ff.

`:cite-note-altenbach-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-altenbach-2-0]`_`f In der Literatur (z. B. Altenbach 2012) wird auch die transponierte Beziehung benutzt: grad ~ ~ ( f → → ) = ∇ ∇ ⊗ ⊗ f → → = e ^ ^ i ⊗ ⊗ ∂ ∂ f → → ∂ ∂ x i = f j ∂ ∂ x i e ^ ^ i ⊗ ⊗ e ^ ^ j = grad ⁡ ⁡ ( f → → ) ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\tilde {\\operatorname {grad} }}({\\vec {f}})=\\nabla \\otimes {\\vec {f}}={\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\frac {\\partial {\\vec {f}}}{\\partial x_{i}}}=f_{j}{\\partial x_{i}}{\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\hat {e}}_{j}=\\operatorname {grad} ({\\vec {f}})^{\\top }} Dann muss, um die Formeln zu vergleichen, g r a d ~ ~ ( f → → ) {\\displaystyle {\\tilde {\\mathrm {grad} }}({\\vec {f}})} und g r a d ( f → → ) ⊤ ⊤ {\\displaystyle \\mathrm {grad} ({\\vec {f}})^{\\top }} vertauscht werden.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 367, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1007/978-3-658-25272-4.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f R. Greve (2003), S. 111.

>>Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.

• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.

• `F33f`_`[Adolf J. Schwab`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Adolf_J._Schwab]`_`f: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

• `F33f`_`[Konrad Königsberger`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Konrad_Königsberger]`_`f: Analysis. überarbeitete Auflage. Band 2. 4. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8.

• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1.

• C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.

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